数学讲题1.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014-2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（ ）
科学记数法的形式为 a×10ⁿ（1≤|a|<10，n 为整数）。169200000000 的整数位数为 12 位，小数点向左移动 11 位得到 1.692，所以 169200000000 = 1.692×10¹¹。故选 C。（A 中 0.1692<1 不合要求；B 中指数多了 1；D 中 16.92>10 不合要求。）
2.截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262883000000用科学记数法表示应为（ ）
262883000000 是 12 位数，小数点向左移动 11 位得 2.62883，∴262883000000=2.62883×10¹¹。故选 B。（A 中 26.2883>10；C 中指数多 1；D 中 0.262883<1，均不符合科学记数法要求。）
3.截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收款2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）
239000000 是 9 位数，小数点向左移动 8 位得 2.39，∴239000000=2.39×10⁸。故选 B。
4.为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到mFlops，则m的值为（ ）
m=5×4×10¹⁷=20×10¹⁷=2×10¹⁸。故选 D。
5.2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为4×105km，则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
45×4×10⁵=180×10⁵=1.8×10⁷（km）。故选 B。
6.再生水利用提升工程是北京市“十五五”时期美丽北京建设的重大工程之一．北京市一家在建的再生水厂建成后每天能够供应2×105t高品质再生水．若一年按365天计．则该再生水厂建成后，一年能够供应的高品质再生水的总量用科学记数法表示应为（ ）
一年总供应量=2×10⁵×365=730×10⁵=7.3×10⁷（t）。故选 B。
7.已知a2+2b2-1=0，求代数式(a-b)2+b(2a+b)的值．
原式=(a−b)²+b(2a+b)
=a²−2ab+b²+2ab+b²
=a²+2b²
=1。
（整体代入：不需要求出 a、b 的具体值，把 a²+2b²=1 整体代入即可。）
8.已知x2+2x-2=0，求代数式x(x+2)+(x+1)2的值．
原式=x(x+2)+(x+1)²
=x²+2x+x²+2x+1
=2(x²+2x)+1
=2×2+1
=5。
9.已知x+2y-1=0，求代数式2x+4yx2+4xy+4y2的值．
原式=2x+4y/x²+4xy+4y²
=2x+2y/x+2y²
=2/(x+2y)
=2/1=2。
10.已知a-b-1=0，求代数式3(a-2b)+3ba2-2ab+b2值.
∵a−b−1=0，∴a−b=1。
原式=[3(a−2b)+3b]/(a²−2ab+b²)=3a−6b+3b/a−b²=3a−b/a−b²=3/(a−b)=3/1=3。
11.已知a+b-3=0，求代数式4(a-b)+8ba2+2ab+b2的值．
原式=[4(a−b)+8b]/(a²+2ab+b²)
=4a−4b+8b/a+b²
=4a+4b/a+b²
=4a+b/a+b²
=4/(a+b)。
∵a+b−3=0，∴a+b=3，
∴原式=4/3。
12.已知x-2y-5=0，求代数式2(x+y)-6yx2-4xy+4y2的值．
原式=[2(x+y)−6y]/(x²−4xy+4y²)
=2x−4y/x−2y²
=2x−2y/x−2y²
=2/(x−2y)。
∵x−2y−5=0，∴x−2y=5，∴原式=2/5。
13.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
由数轴可知 a<−2（a 在 −2 的左侧），0<b<1。A．a>−2 错误；B．a 到原点的距离大于 b 到原点的距离，∴|a|>b，正确；C．∵|a|>b 且 a<0，∴−a>b，∴a+b=b−|a|<0，错误；D．∵b>a，∴b−a>0，错误。故选 B。
14.已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116．若n为整数且n<√2021<n+1，则n的值为（ ）
∵44²=1936<2021<2025=45²，∴44<√2021<45。又 n 为整数且 n<√2021<n+1，∴n=44。故选 B。
15.计算：2sin60°+√12+|-5|-(π+√2)0．
=√3+2√3+4
=3√3+4。
16.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
由数轴可知 −2<a<−1，1<b<2。A．a>−2，错误；B．b>1，错误；C．a<0<b，a>b 错误；D．−a>1>b，正确。故选 D。
17.计算：(π−1)0+4sin45∘-√8+|-3|.
=1+2√2−2√2+3
=4。
18.计算：4sin60°+(13)-1+|-2|-√12．
=2√3+5−2√3
=5。
19.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
由数轴可知：−2<b<−1，2<a<3。
A．b<−1，错误；B．b<−1<2，错误；
C．∵a>2，b>−2，∴a+b>2+(−2)=0，正确；
D．a>0，b<0，∴ab<0，错误。故选 C。
20.计算：(π-5)0+√8-2sin30°+|-√2|
原式=(π−5)⁰+√8−2sin30°+|−√2|
=1+2√2−2×1/2+√2=1+2√2−1+√2=3√2。
21.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
由数轴可知：−2<a<−1，0<b<1。
A．a<−1，错误；B．a+b<0，错误；C．a−b<0，错误；
D．|a|>1>|b|，即|a|>|b|，正确。故选 D。
22.计算：|-3|+√27+(12)-1-2sin30°．
原式=|−3|+√27+(1/2)⁻¹−2sin30°
=3+3√3+2−2×(1/2)
=3+3√3+2−1
=4+3√3。
23.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
由数轴可知：−2<a<−1，2<b<3。
A．a<0<b，∴a<b，错误；B．−a 是 1 与 2 之间的正数，而b>2，∴−a<b，错误；
C．∵a<0，∴|a|=−a，正确；D．a<0，b>0，∴ab<0，错误。故选 C。
24.计算：|-√3|-√18+(π-√5)0+6sin45°．
原式=|−√3|−√18+(π−√5)⁰+6sin45°
=√3−3√2+1+6×(√2/2)
=√3−3√2+1+3√2
=√3+1。
25.分解因式：5x2-5y2=______________．
先提公因式 5：5x²−5y²=5(x²−y²)；再运用平方差公式：x²−y²=(x+y)(x−y)。∴原式=5(x+y)(x−y)。
26.分解因式：xy2-x=______．
先提公因式 x：xy²−x=x(y²−1)；再用平方差公式：y²−1=(y+1)(y−1)。∴原式=x(y+1)(y−1)。
27.分解因式：x2y-y3=__________________.
先提公因式 y：x²y−y³=y(x²−y²)；再用平方差公式：x²−y²=(x+y)(x−y)。∴原式=y(x+y)(x−y)。
28.分解因式：x3-25x=___________.
先提公因式x，再用平方差公式：x³−25x=x(x²−25)=x(x+5)(x−5)。
29.分解因式：7m2-28=_______．
7m²−28=7(m²−4)=7(m+2)(m−2)。
30.分解因式：x3-49x=________．
x³−49x=x(x²−49)=x(x+7)(x−7)。
31.若代数式5x-2有意义，则实数x的取值范围是______．
分式有意义的条件是分母不为零：x−2≠0，∴x≠2。
32.若代数式2x-2有意义，则实数x的取值范围是________．
分式有意义需分母不为 0：x−2≠0，∴x≠2。
33.若√x-7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______________．
二次根式有意义的条件是被开方数非负，∴x−7≥0，解得 x≥7。
34.若√x-8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
二次根式有意义的条件是被开方数非负：x−8≥0，∴x≥8。
35.若√x-9在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．
二次根式有意义要求被开方数非负：x−9≥0，∴x≥9。
36.若√3x-3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．
3x−3≥0，∴x≥1。
37.对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6:4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的110．某人要装裱一幅对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）
装裱后的长为 (100+6x+4x) cm，装裱后的宽为 (27+2x) cm。
由题意得 100+10x=4(27+2x)，
解得 100+10x=108+8x，2x=8，x=4。
∴边的宽为 4 cm，天头长为 6×4=24 cm。
（检验：装裱后长 140 cm，宽 35 cm，140=4×35，符合题意。）
38.北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1:1:2．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的59，AB，CD的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高．
设胸腹高为x cm，则单根膀条长5x cm，门条长(5x−10) cm。
∵AB=CD=x，BC=(5/9)(5x−10)，且门条全长=AB+BC+CD，
∴5x−10=x+(5/9)(5x−10)+x。
即(4/9)(5x−10)=2x，4(5x−10)=18x，20x−40=18x，∴x=20。
头部高:胸腹高:尾部高=1:1:2，∴总高=x+x+2x=4x=80 cm。
答：这只风筝骨架的总高为 80cm。
39.在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则：
·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）；
·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的1.2倍．
已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为60min；一台B类机器人起跑后，前25min保持匀速，速度是这台A类机器人的1.1倍，之后原地维护10min，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了70m/min，完赛成绩为72min．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程．
设这台 A 类机器人的速度为v m/min。
B 类机器人的完赛成绩为实际用时（含维护）的 1.2 倍，完赛成绩 72 min，
∴B 的实际用时=72/1.2=60 min，其中维护 10 min，实际行驶25+(60−25−10)=25+25=50 min。
全程路程：A 为60v；B 为25×1.1v+25×(1.1v+70)=27.5v+27.5v+1750=55v+1750。
由路程相等：60v=55v+1750，∴5v=1750，v=350。
∴路程=60×350=21000 m。
答：这台 A 类机器人的速度为 350 m/min，此次比赛从起点到终点的路程为 21000 m（21 km）。
40.为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40mg/km，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
设改进前A类物质排放量为x mg/km，则B类物质排放量为(92−x) mg/km。
由题意：50%·x+25%(92−x)=40，即0.5x+23−0.25x=40，∴0.25x=17，x=68。
∴改进后A类物质排放量=68×50%=34（mg/km），B类物质排放量=24×25%=6（mg/km）。
∵34≤35（且34+6=40≤50），∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”。
41.方程组{x+y=4
3x-2y=7的解为（ ）
x+y=4①，3x−2y=7②。①×2 得2x+2y=8③，②+③ 得5x=15，x=3，
代入①得y=1。∴解为x=3，y=1。故选 A。
42.解不等式组：{4x-5>x+1
3x-42<x
解不等式 (3x−4)/2<x，去分母得 3x−4<2x，得 x<4。
∴原不等式组的解集为 2<x<4。
43.解不等式组：{2+x>7-4x,
x<4+x2.
解不等式 x<(4+x)/2，去分母得 2x<4+x，得 x<4。
∴原不等式组的解集为 1<x<4。
44.已知a-1>0，则下列结论正确的是（ ）
∵a−1>0，∴a>1。两边同乘 −1 得 −a<−1（不等号方向改变）。∴−a<−1<1<a。故选 B。
45.解不答式组：{x>x+23
5x-3<5+x．
解不等式 5x−3<5+x，得 4x<8，得 x<2。
∴原不等式组的解集为 1<x<2。
46.解不等式组：{3(x-1)<4+2x,
x-95<2x.
解不等式①3x−1<4+2x：x<5；
解不等式②(x−9)/5<2x：x−9<10x，−9<9x，x>−1。
∴不等式组的解集为−1<x<5。
47.能说明命题“若a2>4b2，则a>2b”是假命题的一组实数a，b的值为a=_______，b=_______．
要使命题“若a²>4b²，则a>2b”为假，需a²>4b²成立且a>2b不成立。
取a=−3，b=1：a²=9>4=4b²，但a=−3<2=2b，命题不成立。
（如a=−3，b=−1 等满足条件的组合均可）
48.解不等式组：{2(x+1)>x-1
x+52>3x
解不等式①2(x+1)>x−1：2x+2>x−1，x>−3；
解不等式②(x+5)/2>3x：x+5>6x，5>5x，x<1。
∴不等式组的解集为−3<x<1。
49.解不等式组：{3(x+1)>x-3
3x-42<x-1．
解不等式①3(x+1)>x−3：3x+3>x−3，2x>−6，x>−3；
解不等式②(3x−4)/2<x−1：3x−4<2x−2，x<2。
∴不等式组的解集为−3<x<2。
50.方程2x+3=1x的解为______________．
去分母（两边同乘 x(x+3)）：2x=x+3，解得 x=3。检验：x=3 时 x(x+3)=18≠0，∴x=3 是原分式方程的解。
51.方程2x+5=1x的解为___________．
去分母（两边同乘 x(x+5)）：2x=x+5，解得 x=5。检验：x=5 时 x(x+5)=50≠0，∴x=5 是原方程的解。
52.方程35x+1=12x的解为______．
方程 3/(5x+1)=1/(2x)，去分母（同乘 2x(5x+1)）：6x=5x+1，解得 x=1。检验：x=1 时 2x(5x+1)=12≠0，∴x=1 是原方程的解。
53.方程12x+3+1x=0的解为___________.
方程两边同乘x(2x+3)：x+(2x+3)=0，∴3x+3=0，x=−1。
检验：x=−1时，x(2x+3)=(−1)×1=−1≠0，∴x=−1是原方程的解。
54.方程2x-6+1x=0的解为_______．
方程两边同乘x(x−6)，得2x+(x−6)=0，即3x−6=0，∴x=2。
检验：当x=2时，x(x−6)=2×(−4)=−8≠0，∴x=2是原分式方程的解。
55.已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
∴该方程总有两个实数根。
（2）设方程的两个实数根为 x₁、x₂，则 x₁+x₂=4m，x₁x₂=3m²。
∵两根之差为 2，∴(x₁−x₂)²=(x₁+x₂)²−4x₁x₂=16m²−12m²=4m²=4，
∴m²=1，m=±1。又 m>0，∴m=1。
56.若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
方程有两个相等的实数根 ⟺ Δ=b²−4ac=1²−4m=0，∴m=1/4。故选 C。
57.若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
方程有两个相等的实数根 ⟺ Δ=(−3)²−4m=0，∴m=9/4。故选 C。
58.若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
方程有两个相等的实数根，∴判别式Δ=(−4)²−4c=0，解得c=4。故选 C。
59.若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
方程ax²+2x+1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=4−4a=0，且a≠0，∴a=1。故选 C。
60.如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别是（ ）
矩形的周长为 10 m，∴2(x+y)=10，y=5−x，y 是 x 的一次函数；S=x(5−x)=−x²+5x，S 是 x 的二次函数。∴y 与 x 满足一次函数关系，S 与 x 满足二次函数关系。故选 A。
61.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x>-2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
（2）m 的取值范围为 1/2≤m≤1。
（提示：需使 mx>x/2−1 对一切 x>−2 成立。设 g(x)=(m−1/2)x+1，则需 g(−2)≥0 且当 x→+∞ 时 g(x)>0，解得 m≤1 且 m≥1/2。当 m=1/2 时 g(x)=1>0 恒成立；当 m=1 时 g(x)=x/2+1 在 x>−2 时恒大于 0。）
62.下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
①汽车匀速行驶，剩余路程 y=s−vt，是 x 的一次函数，图象为下降的线段，符合；②水箱匀速放水，剩余水量 y=Q−vt，是 x 的一次函数，图象为下降的线段，符合；③绳长一定，矩形面积 y=x(½L−x)，是 x 的二次函数，图象为抛物线的一部分，不符合图中的线段型图象。∴①②符合。故选 A。
63.在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(4,3)，(-2,0)，且与y轴交于点A．
（1）求该函数的解析式及点A的坐标；
（2）当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．
4k+b=3；−2k+b=0。
两式相减得 6k=3，k=1/2，b=1。
∴该一次函数的解析式为 y=x/2+1，与 y 轴交点 A(0,1)。
（2）n 的取值范围为 n≥1。
（提示：需使 x+n>x/2+1 对一切 x>0 成立，即 n−1>−x/2 对一切 x>0 成立。∵−x/2<0，∴n−1≥0，即 n≥1。当 n=1 时，x+1−(x/2+1)=x/2>0，成立。）
64.在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,1)和B(1,2)，与过点(0,4)且平行于x轴的线交于点C．
（1）求该函数的解析式及点C的坐标；
（2）当x<3时，对于x的每一个值，函数y=23x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值且小于4，直接写出n的值．
∴该函数的解析式为 y=x+1。
当 y=4 时，x=3，∴C(3,4)。
（2）n=2。
（提示：需使 (2/3)x+n>x+1 对一切 x<3 成立，即 n−1>x/3 在 x<3 时恒成立，∴n−1≥1，n≥2（n=2 时不等式化为 2>x/3，对 x<3 成立）；又需 (2/3)x+n<4 对一切 x<3 成立，∵(2/3)x 随 x 增大而增大，其上确界为 x→3 时的 2，∴2+n≤4，n≤2。∴n=2。）
65.某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990
方案一：采用一次清洗方式．
结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．
方案二：采用两次清洗的方式．
记第一次用水量为x1个单位质量，第二次用水量为x2个单位质量，总用水量为(x1+x2)个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：
| x1 | 11.0 | 9.0 | 9.0 | 7.0 | 55 | 4.5 | 3.5 | 3.0 | 3.0 | 2.0 | 1.0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x2 | 0.8 | 1.0 | 1.3 | 1.9 | 2.6 | 3.2 | 4.3 | 4.0 | 5.0 | 7.1 | 11.5 |
| x1+x2 | 11.8 | 100 | 10.3 | 8.9 | 81 | 7.7 | 7.8 | 7.0 | 8.0 | 9.1 | 12.5 |
| C | 0.990 | 0.989 | 0.990 | 0.990 | 0.990 | 0.990 | 0.990 | 0.988 | 0.990 | 0.990 | 0.990 |
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．
（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；
（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x1和总用水量x1+x2之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；
结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．
根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；
（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．
（Ⅱ）以第一次用水量 x₁ 为横坐标、总用水量 x₁+x₂ 为纵坐标，描点、连线，图象呈先下降后上升的曲线，最低点在 x₁≈4.5 附近。
当第一次用水量约为 5 个单位质量（4.5，精确到个位取 5，答 4 亦可）时，总用水量最小，约为 7.7 个单位质量。
（1）19−7.7=11.3，∴可节水约 11.3 个单位质量。
（2）＜。
（提示：由函数图象可知，第一次用水量为 6 个单位质量时，使清洁度达到 0.990 所需的总用水量大于 7.7 个单位质量（图中约 8.2）。现总用水量只有 7.5 个单位质量，用水不足，∴清洗后的清洁度 C<0.990。）
66.在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点(2,1).
（1）求k，b的值；
（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值，也大于函数y=-kx+3的值，直接写出m的取值范围.
（1）把(2,1)代入y=−kx+3：1=−2k+3，∴k=1。
把(2,1)代入y=kx+b：1=2+b，∴b=−1。
（2）由（1）知y=x−1与y=−x+3。
对一切x>2：需mx>x−1且mx>−x+3。
由mx>x−1对一切x>2成立，得m≥1（当m<1时x(m−1)→−∞，不成立）；
由mx>−x+3对一切x>2成立，得2(m+1)≥3，即m≥1/2。
综上，m的取值范围是m≥1。
67.小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，
当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯水面高度h1（单位：cm）和2号杯的水面高度h2（单位：cm），部分数据如下：
| V/mL | 0 | 40 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| h1/cm | 0 | 2.5 | 5.0 | 7.5 | 10.0 | 12.5 | |
| h2/cm | 0 | 2.8 | 4.8 | 7.2 | 8.9 | 10.5 | 11.8 |
（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画h1与V，h2与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）；
②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）．
（1）1 号杯是圆柱形，h₁与V成正比例：由(100, 2.5)得V=40h₁，
∴V=40时h₁=40/40=1.0（cm）。
（2）以V为横坐标、h为纵坐标描点：h₁是过原点的直线（过(0,0)、(100,2.5)、(200,5.0)……）；
h₂用表中各点(40,2.8)、(100,4.8)、(200,7.2)、(300,8.9)、(400,10.5)、(500,11.8)描点并用平滑曲线连接。
（3）①V=320 mL 时，h₁=320/40=8.0 cm；由图象读得h₂≈9.2 cm，
∴高度差约为9.2−8.0=1.2（cm）。
②两杯共320+320=640 mL 水。设相同水面高度为h，则需40h+V₂(h)=640，
其中V₂(h)由h₂图象反读。在图象上找直线V=40h与曲线V=V₂(h)的“和为 640”的点，
估算h≈8.5 cm（此时 1 号杯约 340 mL、2 号杯约 300 mL，合计约 640 mL）。
∴水面高度约为 8.5 cm（8.4～8.6 均视为正确）。
68.在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,3)和(2,5)．
（1）求k，b的值；
（2）当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既小于函数y=kx+b的值，也小于函数y=x+k的值，直接写出m的取值范围．
（1）把(1,3)、(2,5)代入y=kx+b：k+b=3，2k+b=5，
∴k=2，b=1。
（2）由（1）y=2x+1，另一个函数为y=x+2。
对一切x<1：需mx<2x+1且mx<x+2。
①mx<2x+1⟺x(m−2)<1：当x<0时，除以x得m−2>1/x，而x<0时1/x<0且可任意接近0，∴需m−2≥0，即m≥2；
当0<x<1时，若m−2≤1，则x(m−2)≤x<1成立；若m−2>1，取足够接近1的x可使x(m−2)>1，∴需m≤3。
②mx<x+2⟺x(m−1)<2：同理，x<0时需m−1≥0即m≥1；0<x<1时需m−1≤2即m≤3。
综上，m的取值范围是2≤m≤3。
69.工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T=0和T=3时，部分数据如下：
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T=0时y的值 | 0 | 7 | 8 | 10 | 12 | 16 | 20 | 23 | 25 | 26 |
| T=3时y的值 | 0 | 26 | 37 | 43 | m | 48 | 50 | 51 | 52 | 53 |
T=3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．
对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对(x,y)所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线CT．当T=1和T=2时，曲线C1，C2如图所示．
（1）观察曲线C1，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35；
（2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T=3时的曲线C3；
（3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．
①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书；
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习．
（1）观察曲线C₁（T=1）：x=5时y≈35，x=6时y≈37>35，
∴当整数x=6时，y的值首次超过 35。
（2）T=3时从试制第2日起，每日比前一日多制成的个数逐渐减少或保持不变。
第3日制成43个，第5日制成48个，∴第4日比第3日多、第5日比第4日多，两段增量之和为48−43=5，
把5分成两个依次不增的数：5=3+2，∴第4日比第3日多3个，m=43+3=46。
描点(0,0)、(1,26)、(2,37)、(3,43)、(4,46)、(5,48)、(6,50)、(7,51)、(8,52)、(9,53)，用平滑曲线连接得C₃。
（3）①“优秀学员”要求单日≥45 个。T=3时第 4 个试制日y=46≥45，此时距完成理论学习已过3+4=7日；
T=2时需到第2+6=8日；T=0、T=1达不到 45。∴最早在第 7 日可获得证书。
②4 日内总产量：T=0：7+8+10+12=37；T=1：C₁上x=1,2,3约为13+20+27≈60；
T=2：C₂上x=1,2约为21+31≈52；T=3：x=1为 26。
∴应先进行 1 日模拟练习（试制 3 日总产量约 60，最大）。
70.在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(-2,-1)和(1,5)．
（1）求k，b的值；
（2）当-2<x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值小于函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
（1）把(−2,−1)、(1,5)代入y=kx+b：
−2k+b=−1，k+b=5。两式相减得3k=6，k=2，b=3。
（2）由（1）y=2x+3。对一切−2<x<1，需mx<2x+3，即x(m−2)<3。
①当−2<x<0时（x<0）：需m−2≥3/x在x∈(−2,0)上恒成立，3/x的最大上界是−1.5（x→−2时），
∴m−2≥−1.5，即m≥1/2（m=1/2时，x(m−2)=−1.5x<3对x>−2成立）；
②当x=0时：0<3恒成立；
③当0<x<1时：需m−2≤3/x恒成立，3/x的下确界是 3（x→1时），
∴m−2≤3，即m≤5（m=5时，3x<3对x<1成立）。
综上，m的取值范围是1/2≤m≤5。
71.在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫作这种溶质的饱和溶液．固体的溶解度表示在一定温度下，某固态物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量．小云通过查阅资料，得到了溶剂为水时物质甲（硝酸钾）在不同温度下的溶解度数据和溶剂为水时物质乙（硝酸钠）的溶解度曲线，如下所示：
| 温度°C | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 甲的溶解度g | 13.3 | 20.9 | 31.6 | 45.8 | 63.9 | 85.5 | 110 | 138 | 169 |
（1）根据表中数据，在图中画出0°C~80°C范围内甲的溶解度曲线；
（2）当温度为________°C（精确到个位）时，甲和乙的溶解度相同，均为ng．在该温度下．将ng乙加入100g水中，充分搅拌使其全部溶解后，将温度降至10°C，此时会有________g（精确到个位）乙从水中析出；
（3）当温度为10°C时，小云将100g甲加入到装有100g水的1号杯中，将100g乙加入到装有100g水的2号杯中，充分搅拌后，发现两种物质均不能全部溶解．为使两种物质均能全部溶解，小云考虑了以下两种方案：
方案一：将温度提升至T°C，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解；
方案二：保持温度不变，向1号杯中再加入m1 g水，向2号杯中再加入m2 g水，充分搅拌后使两种物质均能全部溶解．
①方案一中，T的最小值为________（精确到个位）；
②方案二中，m1+m2的最小值为________（精确到个位）．
（1）将表中 9 个点(0,13.3)、(10,20.9)、(20,31.6)、(30,45.8)、(40,63.9)、(50,85.5)、(60,110)、(70,138)、(80,169)逐一描出，用平滑曲线连接，即得甲的溶解度曲线。
（2）观察图象，甲、乙两条曲线在约70°C（按图读数，答案不唯一）时相交，此时溶解度n≈138 g（即甲在70°C的溶解度）。
由图可知乙在10°C时溶解度约为 80 g。
∴降温到10°C时，析出乙的质量约为138−80=58 g（按图读数，答案不唯一）。
（3）①要使 100 g 甲、100 g 乙都全部溶解在 100 g 水中，需要两者的溶解度都不小于 100 g。
由图象：甲的溶解度达到 100 g 的温度约为57°C；乙的溶解度达到 100 g 的温度约为44°C。
∴T的最小值约为 57（按图读数，答案不唯一）。
②10°C时，由图象甲的溶解度约为 21 g，乙的溶解度约为 80 g。
溶解 100 g 甲共需水100×100/21≈476 g，需再加m₁≈476−100=376 g；
溶解 100 g 乙共需水100×100/80=125 g，需再加m₂=125−100=25 g。
∴m₁+m₂的最小值约为376+25=401（按图读数，答案不唯一；若按表中20.9计算，m₁≈378.5，和约为 404，亦视为正确）。
72.在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．
（1）若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点(-1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．
a+b=3；9a+3b=15，即 3a+b=5。
两式相减得 2a=2，a=1，b=2。
∴对称轴为直线 x=−b/(2a)=−2/2=−1，即 x=−1。
（2）设抛物线的对称轴为 x=x₀（x₀=−b/(2a)）。
由 (1,m)、(3,n) 在 y=ax²+bx 上得 m=a+b=a(1−2x₀)，n=9a+3b=a(9−6x₀)=3a(3−2x₀)。
mn<0，且 a>0，∴(1−2x₀)(3−2x₀)<0，解得 1/2<x₀<3/2。
∵a>0，抛物线开口向上，点离对称轴越远函数值越大。
y₂ 对应 x=2，y₃ 对应 x=4，|4−x₀|−|2−x₀|=4−x₀−(2−x₀)=2>0（x₀<3/2<2），∴y₂<y₃；
y₁ 对应 x=−1，|−1−x₀|−|4−x₀|=(1+x₀)−(4−x₀)=2x₀−3<0（x₀<3/2），∴y₁<y₃；
|−1−x₀|−|2−x₀|=(1+x₀)−(2−x₀)=2x₀−1>0（x₀>1/2），∴y₂<y₁。
∴y₂<y₁<y₃。
73.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−h)2+k(a<0)．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
| 水平距离x/m | 0 | 2 | 5 | 8 | 11 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 竖直高度y/m | 20.00 | 21.40 | 22.75 | 23.20 | 22.75 | 21.40 |
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x−h)2+k(a<0);
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04(x−9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1______d2（填“>”“=”或“<”）．
设 y=a(x−8)²+23.20（a<0）。把 x=2，y=21.40 代入：
a×(−6)²+23.20=21.40 → 36a=−1.8 → a=−0.05。
∴y=−0.05(x−8)²+23.20。
（验证：x=5 时 y=−0.05×9+23.20=22.75 ✓；x=14 时 y=−0.05×36+23.20=21.40 ✓。）
（2）d₁＞d₂。
（提示：第一次训练着陆点满足 −0.05(x−8)²+23.20=0，解得 x=8+√464≈29.5（取正值），即 d₁≈29.5；第二次满足 −0.04x²+23.24=0，解得 x=√581≈24.1，即 d₂≈24.1。∴d₁＞d₂。）
74.在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t.
（1）当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围．
∵m=n，即 f(1)=f(3)，∴点 (1,m) 与 (3,n) 关于对称轴对称，∴t=(1+3)/2=2。
（2）设 f(x)=ax²+bx+c（a>0）。
∵m<n<c，即 f(1)<f(3)<f(0)。
∵a>0，抛物线开口向上，点离对称轴越远函数值越大。
由 f(1)<f(3)：|1−t|<|3−t|，即 (1−t)²<(3−t)²，展开得 −2t<−6t+9，∴t<2。
由 f(3)<f(0)：|3−t|<|0−t|，即 (3−t)²<t²，展开得 −6t+9<0，∴t>3/2。
∴3/2<t<2。
∵f(x₀)=m=f(1) 且 x₀≠1，∴x₀ 与 1 关于对称轴 x=t 对称，∴x₀=2t−1。
∵3/2<t<2，∴2<x₀<3。
∴t 的取值范围是 3/2<t<2，x₀ 的取值范围是 2<x₀<3。
75.在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
（1）若对于x1=1，x2=2有y1=y2，求t的值；
（2）若对于0<x1<1，1<x2<2，都有y1<y2，求t的取值范围．
（2）t 的取值范围是 t≤1/2。
证明：设 f(x)=a(x−t)²+k（a>0），记条件（∗）：对一切 0<x₁<1<x₂<2，都有 f(x₁)<f(x₂)。
∵a>0，f 在对称轴两侧分别递减、递增，函数值大小由点到对称轴的距离决定（距离相小则值小）。
先看 t>1/2 时条件（∗）不成立（找反例）：
①当 1/2<t<1 时：∵|0−t|=t>1−t=|1−t|，∴f(0)>f(1)。取 x₁ 充分接近 0（x₁∈(0,t)），则 |x₁−t|→t；取 x₂ 充分接近 1（x₂∈(1,2)），则 |x₂−t|→1−t。由 t>1−t，可选取 x₁、x₂ 使 |x₁−t|>|x₂−t|，此时 f(x₁)>f(x₂)，与（∗）矛盾；
②当 1≤t<2 时：f(t) 是最小值，取 x₂ 充分接近 t（x₂∈(1,2)），f(x₂) 接近最小值 f(t)；又 |0−t|=t≥1，取 x₁ 充分接近 0，f(x₁) 接近 f(0)。∵f(0)=at²+k>f(t)，∴可选取 x₁、x₂ 使 f(x₁)>f(x₂)，与（∗）矛盾；
③当 t≥2 时：f 在 (0,2) 上递减，取 x₁ 充分接近 0、x₂ 充分接近 2，∵|0−t|=t≥2>|2−t|，∴f(0)>f(2)，从而 f(x₁)>f(x₂)，与（∗）矛盾。
∴必有 t≤1/2。
②当 t≤1/2 时：对任意 0<x₁<1，|x₁−t|≤maxt, 1−t=1−t（因 t≤1/2）；对任意 1<x₂<2，|x₂−t|>|1−t|≥|x₁−t|。
由 |x₂−t|>|x₁−t| 及 a>0 得 f(x₂)>f(x₁)，条件（∗）成立。
∴t 的取值范围为 t≤1/2。
76.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-2a2x(a≠0).
（1）当a=1时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知M(x1,y1)和N(x2,y2)是抛物线上的两点.若对于x1=3a，3≤x2≤4，都有y1<y2，求a的取值范围.
（1）a=1时，y=x²−2x=(x−1)²−1，∴顶点坐标为(1, −1)。
（2）y=ax²−2a²x=a(x−a)²−a³，对称轴为直线x=a，顶点纵坐标−a³。
x₁=3a时，y₁=a(3a)²−2a²·3a=9a³−6a³=3a³。
①当a>0时，抛物线开口向上：
若0<a<3，y₂在[3,4]上的最小值为y(3)=9a−6a²，
需3a³<9a−6a²，即3a²+6a−9<0，(a+3)(a−1)<0，∴0<a<1；
若3≤a<4，最小值为y(a)=−a³<0<3a³，不成立；
若a≥4，最小值为y(4)=16a−8a²，需3a³<16a−8a²，即3a²+8a−16<0，解得a<4/3，与a≥4矛盾。
②当a<0时，开口向下，[3,4]上最小值在x=4处：y₂最小=16a−8a²，
需3a³<16a−8a²，即3a²+8a−16>0（除以负数a变号），
解得a<−4或a>4/3，结合a<0得a<−4。
综上，a的取值范围是0<a<1或a<−4。
77.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点O和点A(3,3a)．
（1）求c的值，并用含a的式子表示b；
（2）过点P(t,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y=ax于点N．
①若a=1，t=4，求MN的长；
②已知在点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求a的取值范围．
（1）抛物线过点O(0,0)：c=0。
过点A(3, 3a)：9a+3b=3a，∴3b=−6a，b=−2a。
（2）MN=|y_M−y_N|=|a t²−2a t−a t|=|a|·|t²−3t|=|a|·t|t−3|（t≥0时）。
①a=1，t=4：MN=|16−12|=4。
②P从O(0,0)到B(2a, 0)，OP长即|t|。
当a<0：t从 0 变到2a（负方向），记s=|t|=−t∈[0, −2a]，
MN=|a|·s(s+3)，随s增大而增大，∴一切a<0都符合；
当a>0：t∈[0, 2a]，MN=a·t|t−3|：
若2a≤3：MN=a(3t−t²)，其导数a(3−2t)≥0对t∈[0,2a]成立需2a≤3/2，∴0<a≤3/4；
若2a>3：MN在(3/2, 3)上递减，不符合。
∴a的取值范围是a<0或0<a≤3/4。
78.在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2+4x+4的图象经过点(m,y1)和(m+1,y2)．若m>0，则y1________y2（填“>”“=”或“<”）．
y=x²+4x+4=(x+2)²，抛物线开口向上，对称轴为直线x=−2。
∵m>0，∴−2<m<m+1，即两点都在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴y₁<y₂。
79.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(0,1-aa)，对称轴为x=1a．
（1）求b的值，并用含a的式子表示c；
（2）已知M是抛物线C1上的点，M的横坐标为t，抛物线C2的顶点为M，且可以由抛物线C1平移得到（特别地，当M是C1的顶点时，C2即为C1）．若无论t为何值，抛物线C2都不经过点O，求a的取值范围．
（1）抛物线过点(0, (1−a)/a)：∴c=(1−a)/a。
对称轴x=−b/(2a)=1/a，∴b=−2a·(1/a)=−2。
∴C₁: y=ax²−2x+(1−a)/a。
（2）设M(t, at²−2t+(1−a)/a)。C₂由C₁平移得到且顶点为 M，
∴C₂: y=a(x−t)²+at²−2t+(1−a)/a。
C₂经过原点 O 当且仅当x=0时y=0：
at²+at²−2t+(1−a)/a=0，即2at²−2t+(1−a)/a=0，两边乘a：
2a²t²−2at+(1−a)=0。
“无论t为何值，C₂都不经过 O”⟺该关于t的方程无实数根：
Δ=(−2a)²−4·2a²·(1−a)=4a²−8a²+8a³=4a²(2a−1)<0。
∵a≠0，4a²>0，∴2a−1<0，∴a<1/2。
∴a的取值范围是a<1/2且a≠0。
80.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(1,2)和点B(-1,m)，则m的值为______________．
∵图象经过点 A(1,2)，∴k=1×2=2，即 y=2/x。把 B(−1,m) 代入：m=2/(−1)=−2。
81.在平面直角坐标系xOy中，若点A(2,y1),B(5,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，则y1______y2（填“>”“=”或“<”）
∵k>0，∴在图象每一支上，y 随 x 的增大而减小。∵2<5，且 A、B 在同一支上，∴y₁>y₂。
82.在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(-3,2)和B(m,-2)，则m的值为______．
∵图象经过 A(−3,2)，∴k=(−3)×2=−6，即 y=−6/x。把 B(m,−2) 代入：−2=−6/m，∴m=3。
83.在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kx(k≠0)的图象经过点(3,y1)和(-3,y2)，则y1+y2的值是___________.
反比例函数y=k/x图象上两点(3, y₁)与(−3, y₂)横坐标互为相反数，
∴y₁=y₂（k/3与−k/3……注意y₁=k/3，y₂=−k/3，互为相反数），∴y₁+y₂=k/3+(−k/3)=0。
84.如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y=1x(x>0)的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论：
①△COM与△CON的面积一定相等；
②△MON与△MCN的面积可能相等；
③△MON一定是锐角三角形；
④△MON可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
设A(a, 0)，B(0, b)（a>0，b>0），则C(a, b)。
M在AC上且在y=1/x上：M=(a, 1/a)；N在BC上：N=(1/b, b)。
①用坐标行列式算三角形面积：S△COM=1/2|x_C y_M−x_M y_C|=1/2|a·(1/a)−a·b|=1/2(ab−1)；
S△CON=1/2|x_C y_N−x_N y_C|=1/2|a·b−(1/b)·b|=1/2|ab−1|。
∴S△COM=S△CON一定成立，①正确；
②S△MON=1/2|x_M y_N−x_N y_M|=1/2|a·b−(1/b)(1/a)|=1/2(ab−1/(ab))（因M在C下方、N在C左侧，ab>1）；
S△MCN=1/2(b−1/a)(a−1/b)=1/2(ab−2+1/(ab))。
若相等，则ab−1/(ab)=ab−2+1/(ab)，得ab=1，与ab>1矛盾，②错误；
③取a=10，b=0.2：M=(10, 0.1)，N=(5, 0.2)，可验证∠ONM>90°，△MON 不是锐角三角形，③错误；
④当a=b且a−1/a=√2（即a=(√2+√6)/2）时，OM=ON=MN，△MON 是等边三角形，④正确。
∴正确结论是①④，选 B。
85.如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正半轴上的点P作x轴的平行线，分别交函数y=4x(x>0)和y=-3x(x<0)的图象于点A、B，过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接AC交y轴于点Q，则PQQO的值为________．
设P(0,p)（p>0），则直线AB为y=p。
A 在y=4/x（x>0）上：A(4/p, p)；B 在y=−3/x（x<0）上：B(−3/p, p)；C(−3/p, 0)。
直线 AC：由A(4/p, p)到C(−3/p, 0)，参数化A+s(C−A)=((4−7s)/p, p(1−s))。
令x=0得s=4/7，∴Q(0, 3p/7)。
∴PQ=p−3p/7=4p/7，QO=3p/7，∴PQ/QO=4/3。
86.如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
该展开图由一个长方形（侧面）和两个完全相同的圆（底面）组成，符合圆柱的展开特征：长方形是圆柱的侧面展开图，两个圆分别是圆柱的上、下底面。长方体的展开图中没有圆；圆锥的展开图由一个扇形和一个圆组成；三棱柱的展开图由三个长方形和两个三角形组成。故选 B。
87.下面几何体中，是圆锥为（ ）
B. 
C. 
D. 
圆锥由一个圆形底面和一个侧面（展开为扇形）组成，直观图的特征是：一个圆底和一个尖顶。对照选项：A 为圆柱、B 为圆锥、C 为三棱锥、D 为球。故选 B。
88.如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）
量角器的基准线与被测角的一边（水平线）重合，另一边（斜边）指向量角器左侧 30° 刻度处。∠1 是斜线与水平基准线所夹的锐角，由对顶角（两直线相交）可知 ∠1 等于左侧的 30°。∴∠1=30°。故选 A。
89.如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，则∠BOC的大小为（ ）
∵∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOC+∠BOD=180°。又 ∠AOD=∠AOC+∠BOD−∠BOC（重叠部分），∴∠BOC=∠AOC+∠BOD−∠AOD=90°+90°−126°=54°。故选 C。
90.如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC=120°，则∠BOD的大小为（ ）
∵点 O 在直线 AB 上，∠AOC=120°，∴∠BOC=180°−120°=60°。∵OC⊥OD，∴∠COD=90°。由图可知射线 OD 在直线 AB 下方、OC 在上方，∴∠BOD=∠COD−∠BOC=90°−60°=30°。故选 A。
91.如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC=58°，则∠EOB大小为（ ）
∵OE⊥OC，∴∠COE=90°。
∵∠AOC=58°，∠AOC+∠COE+∠EOB=180°（A、O、B 共线），
∴∠EOB=180°−58°−90°=32°。故选 B。
92.如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若∠1=48°，则∠2的大小为（ ）
三角尺的直角顶点在直线 l 上，∴∠1、三角尺的直角、∠2 三个角组成平角，
∴∠2=180°−90°−∠1=90°−48°=42°。故选 B。
93.下列多边形中，内角和最大的是（ ）
n 边形的内角和为 (n−2)×180°，边数越多内角和越大。四个选项依次为三角形（180°）、四边形（360°）、五边形（540°）、六边形（720°），六边形边数最多，内角和最大。故选 D。
94.下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
| 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°， 已知：如图，ΔABC, 求证：∠A+∠B+∠C=180∘. | |
|---|---|
| 方法一 证明：如图，过点A作DE∥BC.  | 方法二 证明：如图，过点C作CD∥AB. |
如图，过点 A 作 DE∥BC。
∵DE∥BC，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°（平角的定义），
∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）。
即三角形三个内角的和等于 180°。
（若选方法二：过点 C 作 CF∥BA。∵CF∥BA，∴∠ACF=∠A（两直线平行，内错角相等），∠BCF+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵∠BCF=∠ACB+∠ACF，∴∠B+∠ACB+∠A=180°。）
95.十二边形的外角和为（ ）
任意多边形的外角和都等于 360°，与边数无关。∴十二边形的外角和为 360°。故选 C。
96.若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（ ）
六边形内角和=(6−2)×180°=1080°，每个内角都是x°，
∴6x=1080，x=120。故选 C。
97.如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（ ）
∵OA=OB（同圆半径），∠AOB=100°，
∴∠OAB=∠OBA=(180°−100°)/2=40°。
∵AC=BC=AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°。
∵点C与点O在AB两侧，∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=40°+60°=100°。
∴∠OAC=100°。故选 C。
98.如图，点B在射线AM上，在射线BM上截取BC=BA，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于点D．连接BD，CD，则∠BDC的大小为（ ）
由作图可知AB=AD=BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=60°。
∵A、B、M共线，C在射线BM上，∴∠DBC=180°−∠ABD=120°。
又BD=AB=BC，∴△BCD是等腰三角形，
∴∠BDC=∠BCD=(180°−120°)/2=30°。故选 A。
99.在凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=90°，∠D=∠E，则∠D=________°．
凸五边形内角和=(5−2)×180°=540°。
∵∠A=∠B=∠C=90°，∴3×90°+2∠D=540°，∴∠D=135°。
100.如图，ΔABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则SΔACD=____．
过点 D 作 DH⊥AC 于 H。∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DH=DE=1（角平分线上的点到角两边的距离相等）。∴S△ACD=½·AC·DH=½×2×1=1。
101.如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB<BC，∠A=∠C=90°，△EAB≌△BCD，连接DE，设AB=a，BC=b，DE=c，给出下面三个结论：①a+b<c；②a+b>√a2+b2；③√2(a+b)>c；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
由 △EAB≌△BCD 得 EA=BC=b，CD=AB=a，且 ∠EAB=∠BCD=90°。
以 A 为原点、AC 所在直线为 x 轴建立坐标系：A(0,0)，B(a,0)，C(a+b,0)，E(0,b)，D(a+b,a)。
∴c=DE=√((a+b)²+(a−b)²)=√(2a²+2b²)。
①c²−(a+b)²=2a²+2b²−(a+b)²=a²+b²−2ab=(a−b)²>0（∵a≠b），∴c>a+b，①正确；
②∵(a+b)²=a²+b²+2ab>a²+b²，∴a+b>√(a²+b²)，②正确；
③[√2(a+b)]²=2(a+b)²=2a²+4ab+2b²>2a²+2b²=c²，∴√2(a+b)>c，③正确；
∴正确结论是①②③。故选 D。
102.下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
| （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；以点C'为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D'； （3）过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB.  |
|---|
上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB，其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是（ ）
A. 三边分别相等的两个三角形全等
B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
由作法可知：O^′C^′=OC，O^′D^′=OD，C^′D^′=CD（同一半径画弧截取）。
∴△C^′O^′D^′≌△COD（SSS，三边分别相等的两个三角形全等），
∴∠A^′O^′B^′=∠AOB。判定依据是“三边分别相等”，故选 A。
103.在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(1,t)(t>0)．若点C不与点A重合，且以B，O，C为顶点的三角形与△AOB全等，则称C为B的“友好点”．给出下面四个结论：
①对于所有的点B，在y轴上都有B的“友好点”；
②能够找到点B，使得在x轴上有B的“友好点”；
③对于所有的点B，在第一象限内都有B的“友好点”；
④能够找到点B，使得在第四象限内有B的“友好点”．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A(1,0)，B(1,t)（t>0），O(0,0)：OA=1，AB=t，OB=√(1+t²)，∠OAB=90°。
△BOC 与△AOB 全等时，三边为1, t, √(1+t²)，其中OB=√(1+t²)是最长边，∴∠OCB=90°，OC、CB分别是 1 和t。
逐一检验可得 B 的友好点共有三类：
C₁=(0,t)（此时OC=t，CB=1）；C₂=(1−t²/1+t², 2t/(1+t²))（此时OC=1，CB=t）；
C₃=(2t²/(1+t²), tt²−1/1+t²)（此时OC=t，CB=1）。
①C₁=(0,t)在 y 轴上，且对任意t>0都存在，①正确；
②y 轴上的友好点只可能是C₁=(0,t)，其纵坐标t>0，不在 x 轴上；其余友好点纵坐标也均不为 0（可验证仅t=1时C₃=(1,0)与 A 重合，舍去），②错误；
③当t=1时，友好点只有(0,1)，在 y 轴上，不在第一象限内，③错误；
④当0<t<1时，C₃的横坐标2t²/(1+t²)>0，纵坐标tt²−1/1+t²<0，在第四象限内，④正确。
∴正确结论是①④，选 B。
104.《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B,A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C,B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A,B,C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在△ABC中，BA=______________，D是CA的中点，
∴CA⊥DB（______________）（填推理的依据）．
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
（2）BA=BC（由题意 BA=BC=10 步）；
依据：等腰三角形“三线合一”（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）。
∴CA⊥DB。
105.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
该图形是圆内接正五角星（圆与五角星组合的轴对称图形），每经过一个角顶与圆心的直线都是对称轴，五角星有 5 个角顶，∴共有 5 条对称轴。故选 D。
106.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
B. 
C. 
D. 
正方形既是轴对称图形（4 条对称轴），又是中心对称图形（绕对角线交点旋转 180° 与自身重合），符合题意；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；等腰直角三角形（C）只是轴对称图形；等边三角形（D）只是轴对称图形。故选 A。
107.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
B. 
C. 
D. 
逐项判断：
A．平行四边形：是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
B．矩形（长方形）：既是轴对称图形又是中心对称图形，待定；
C．等腰三角形（轴对称但不是中心对称）……结合选项图形逐一判断：本题四个图形依次为平行四边形、等腰三角形、矩形、（一般）三角形。平行四边形与三角形都不是轴对称图形；等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形；只有矩形既是轴对称图形（有两条对称轴）又是中心对称图形。
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形，选 C。
108.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
B. 
C. 
D. 
逐项判断：半圆是轴对称图形，不是中心对称图形；等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；菱形既是轴对称图形（两条对角线所在直线为对称轴）又是中心对称图形。故选 D。
109.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，AF=EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，即 AF∥EC。又 AF=EC，∴四边形 AECF 是平行四边形。要使它是菱形，只需一组邻边相等，如添加 AE=AF（或 AE=EC），或添加对角线互相垂直 AC⊥EF，均可判定四边形 AECF 是菱形。
110.如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=45，求BF和AD的长．
又 AE∥DC，∴四边形 AECD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
（2）在 Rt△BEF 中，∠EFB=90°，cosB=BF/BE=4/5，BE=5，∴BF=4，EF=√(BE²−BF²)=3。
∵AE 平分∠BAC，EF⊥AB，EC⊥AC（∠ACB=90°，点 E 在 BC 上），∴EF=EC=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴BC=BE+EC=5+3=8。在 Rt△ABC 中，cosB=BC/AB=4/5，∴AB=10，由勾股定理得 AC=√(AB²−BC²)=6。
∵四边形 AECD 是平行四边形，∴AD=EC=3。
∴BF=4，AD=3。
111.如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC=14，则AE的长为_______．
在矩形 ABCD 中，AB=3，AC=5，∴BC=√(AC²−AB²)=4。
以 B 为原点建立坐标系：B(0,0)，A(0,3)，C(4,0)，D(4,3)，E 在 AD 上。
∵F 在 AC 上且 AF:FC=1:4，∴F=(4/5, 12/5)（把 AC 五等分，F 为靠近 A 的第一个分点）。
由图可知 E 为直线 BF 与 AD 的交点。直线 BF 过 (0,0)、(4/5,12/5)，斜率为 3，即 y=3x；AD：y=3。令 3x=3 得 x=1，∴E(1,3)。
∴AE=1。
（比例法：设 AE=x（AD=4），则 E(x,3)。由 B、F、E 共线得 F 为 BE 与 AC 的交点，用相似或坐标可解得 x=1。）
112.如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD是菱形．
∵AE=CF，且 A、E、O、F、C 共线，OA−AE=OC−CF，∴OE=OF。
∵在四边形 EBFD 中，对角线 EF 与 BD 相交于 O，且 OB=OD、OE=OF，
∴四边形 EBFD 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
（2）证明：∵AB∥DC，∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴▱ABCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），即 EF⊥BD。
∵四边形 EBFD 是平行四边形，∴四边形 EBFD 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
113.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，AC=EF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）AE=BE，AB=2，tan∠ACB=12，求BC的长．
∵BE=DF，∴AD−DF=BC−BE，即 AF=CE。
又 AF∥CE，∴四边形 AECF 是平行四边形（一组对边平行且相等）。
∵AC=EF，∴平行四边形 AECF 的对角线相等，∴四边形 AECF 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
（2）∵四边形 AECF 是矩形，∴∠AEC=90°，即 AE⊥BC。
∵AE=BE，∴Rt△ABE 是等腰直角三角形，∴BE=AE，AB=√2·AE=2，∴AE=BE=√2。
在 Rt△AEC 中，∠AEC=90°，tan∠ACB=AE/EC=1/2，∴EC=AE÷(1/2)=2√2。
∴BC=BE+EC=√2+2√2=3√2。
114.如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD=5，CG=4，则△AEF的面积为___________．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠DAE=90°，AD=5。
设DE与AB交于E。∵CG⊥DE，CG=4，
∴S△DCE=1/2·DE·CG=1/2·CD·h_E=1/2×5×5=25/2，∴2DE=25/2，DE=25/4。
在 Rt△DAE中：AE=√(DE²−AD²)=√(625/16−25)=√(225/16)=15/4。
∵AF⊥DE，∴由面积法：1/2·DE·AF=1/2·AD·AE，∴AF=AD·AE/DE=5×(15/4)÷(25/4)=3。
∴EF=√(AE²−AF²)=√(225/16−9)=9/4。
∴S△AEF=1/2·AF·EF=1/2×3×9/4=27/8。
115.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF=FB，AF∥DC.
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形；
（2）若∠EFB=90°，tan∠FEB=3，EF=1，求BC的长.
（1）证明：∵E是AB的中点，DF=FB（即F是DB的中点），
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，EF=1/2·AD。
∵C、F、E三点共线（DB与CE交于F），∴FC∥AD（即CE∥AD）。
又AF∥DC，∴四边形AFCD的两组对边分别平行，∴四边形AFCD是平行四边形。
（2）∵∠EFB=90°，∴EF⊥FB。在 Rt△EFB中，tan∠FEB=FB/EF=3，EF=1，∴FB=3。
由（1）EF是△ABD的中位线，∴AD=2EF=2，AB=2EB，DF=FB=3。
∵四边形AFCD是平行四边形，∴FC=AD=2，DC=AF，FC∥AD。
以F为原点、FB 所在直线为 x 轴建系：F(0,0)，B(3,0)，D(−3,0)，E(0,1)（EF=1，EF⊥FB）。
验证tan∠FEB=FB/EF=3成立。∵E是AB中点，∴A=2E−B=(−3,2)，此时AD∥EF且AD=2 ✓。
∵FC∥AD（竖直方向），FC=2，且C、F、E共线，∴C=(0,−2)。
∴BC=√((3−0)²+(0+2)²)=√13。
116.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB=1，∠EBC=30°，则△ABF的面积为_______．
以B为原点、BC为x轴正方向建系：B(0,0)，C(1,0)，A(0,1)，D(1,1)。
∵∠EBC=30°，E在CD上，∴CE=BC·tan30°=√3/3，E=(1, √3/3)。
直线BE的方向向量(cos30°, sin30°)。F是C在BE上的垂足，
∴F=(C·u)u=(√3/2)(√3/2, 1/2)=(3/4, √3/4)。
S△ABF=1/2|x_A y_F−x_F y_A|=1/2|0−3/4|=3/8。
117.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG=FC．
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若∠B=45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长．
（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，即DG∥FC。
又DG=FC，∴四边形DFCG是平行四边形。
∵DF⊥BC，∴∠DFC=90°，∴平行四边形DFCG是矩形。
（2）在 Rt△BDF中，∠B=45°，∠DFB=90°，∴BF=DF=3。
∵四边形DFCG是矩形，∴FC=DG=5，∴BC=BF+FC=3+5=8。
以B为原点、BC为x轴建系：B(0,0)，C(8,0)，F(3,0)，D(3,3)。
∵D是AB中点且∠B=45°，∴A=2D−B=(6,6)（在过B的45°射线上）。
∵E是AC中点：E=((6+8)/2, 6/2)=(7,3)，与矩形顶点G(8,3)相符（DG=5 ✓）。
∴AC=√((8−6)²+(0−6)²)=√40=2√10。
118.如图，▱ABCD的两条对角线相交于点O．已知▱ABCD的面积为24，BD的长为8，当AO的长为________时，▱ABCD是菱形．
▱ABCD 的面积=(1/2)·AC·BD·sin∠AOB（对角线互相平分，AO=OC，BO=OD）。
若是菱形，则对角线互相垂直，AC⊥BD，
∴面积=(1/2)·AC·BD=24，又BD=8，∴AC=6，∴AO=AC/2=3。
119.如图，在△ABC中，∠CAB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，BC=2BF，AE∥BF．
（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；
（2）若AB=2，AC=3，求四边形DBFE的面积．
（1）证明：∵∠CAB=90°，E为斜边BC的中点，
∴AE=BC/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
又BC=2BF，∴BF=BC/2，∴AE=BF。
又AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形（一组对边平行且相等）。
（2）解：∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE=AC/2=3/2，且DE⊥AB。
以A为原点、AB为x轴建系：A(0,0)，B(2,0)，C(0,3)，E(1,3/2)，D(1,0)。
由（1）四边形ABFE是平行四边形，F=E+(B−A)=(3, 3/2)。
SABFE=AB×(E到AB的距离)=2×3/2=3；S△ADE=(1/2)×AD×DE=(1/2)×1×3/2=3/4。
∴S四边形DBFE=SABFE−S△ADE=3−3/4=9/4。
120.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，两个菱形的公共点为E，F，G，H.对八边形BFB'GDHD'E给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等。
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
设菱形边长为a，∠BAD=60°，则OB=OA·tan30°=……（短对角线的一半小、长对角线的一半大，OB≠OD）。
①整个图形（两个菱形叠放）关于点O成90°旋转对称，旋转把八边形BFB^′GDHD^′E映到自身，∴各边长相等，①正确；
②八边形各内角交替出现两种不同大小（顶点B，B^′，D，D^′处与E，F，G，H处不同），②错误；
③O到各顶点的距离中，OB≠OD（短、长对角线的一半不相等），③错误；
④由90°旋转对称性，O到八边形各边所在直线的距离都相等，④正确。
∴正确结论是①④，选 B。
121.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
B. 
C. 
D. 
A（三角形）、B（直角三角形）、D（半圆）旋转 180° 后都不能与自身重合，不是中心对称图形；
C（矩形）绕对角线交点旋转 180° 后与自身重合，是中心对称图形。故选 C。
122.如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点．若∠P=50°，则∠AOB=______________．
∵PA、PB 是 ⊙O 的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。在四边形 OAPB 中，∠AOB=360°−90°−90°−∠P=180°−50°=130°。
123.如图，⊙O是△ABC外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD=∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长．
∴由垂径定理得 弧BD=弧CD（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧）。
∴∠BAD=∠CAD（等弧所对的圆周角相等）。
（2）连接 OC。∵⊙O 的半径为 5，OE=3，AD⊥BC 于 E，
∴在 Rt△OEC 中，EC=√(OC²−OE²)=√(25−9)=4，∴BC=2EC=8。
∵BG 是 ⊙O 的直径（BO 延长交圆于 G），∴∠BCG=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在 Rt△BCG 中，BG=10，BC=8，∴GC=√(BG²−BC²)=√(100−64)=6。
求 OF：以 O 为原点、AD 所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则 O(0,0)，A(0,5)，D(0,−5)，E(0,−3)，B(−4,−3)，C(4,−3)。
直线 AC 过 A(0,5)、C(4,−3)：y=5−2x；直线 BO 过 B(−4,−3)、O(0,0)：y=(3/4)x。
联立解得交点 F(20/11,15/11)。
∴OF=√((20/11)²+(15/11)²)=25/11。
∴GC=6，OF=25/11。
124.如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD,连接AC,OD.
（1）求证：∠BOD=2∠A;
（2）连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E，延长DO,交AC于点F，若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
∴由垂径定理，AB 平分弦 CD 所对的弧，即 弧BC=弧BD。
∵∠BOC 是弧 BC 所对的圆心角，∠BAC 是弧 BC 所对的圆周角，∴∠BOC=2∠A（同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍）。
∵弧BC=弧BD，∴∠BOD=∠BOC=2∠A。
（2）证明：∵F 为 AC 的中点，O 为 AB 的中点，∴OF 是 △ABC 的中位线，∴OF∥BC。
∴∠AOF=∠ABC（两直线平行，同位角相等），∠FOB+∠OBC=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°。
由（1）∠BOD=2∠A，且 D、O、F 共线，∴∠BOF=180°−2∠A。
∵∠FOB+∠OBC=180°，∴∠OBC=2∠A。
∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=2∠A，∴∠BOC=180°−4∠A。
又 ∠BOC=2∠A（同弧所对圆心角与圆周角），∴2∠A=180°−4∠A，解得 ∠A=30°。
∴∠BOC=60°，∠OBC=∠OCB=60°，∴△OBC 是等边三角形。
∵∠BOD=2∠A=60°，OB=OD，∴∠OBD=(180°−60°)/2=60°。
∴∠DBO=∠BOC=60°，∴DB∥OC（内错角相等，两直线平行）。
∵CE⊥DB，∴OC⊥CE，又 OC 是 ⊙O 的半径，∴直线 CE 为 ⊙O 的切线（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）。
125.如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC=45°，BC=2，则线段AE的长为______．
∵OA⊥BC 于 D，由垂径定理得 BD=DC=½BC=1。
连接 OB。在 Rt△OBD 中，设 ⊙O 的半径为 r。∵∠AOC=45°，OA⊥BC，∴∠BOD=45°，∴OD=BD=1，OB=√2，即 r=√2。
∴A(0,√2)（以 O 为原点、OA 为 y 轴），C(1,1)，直线 OC：y=x。
∵AE 是 ⊙O 的切线，OA 是半径，∴AE⊥OA，∴AE 平行于 x 轴，即直线 AE：y=√2。
点 E 是直线 y=√2 与直线 OC（y=x）的交点，∴E(√2,√2)。
∴AE=√2。
126.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长．
∴∠ADB=∠BDC?? 注：∠ADB 是弧 AB 所对的圆周角，∠BDC 是弧 BC 所对的圆周角。
∵∠BAC=∠ADB（已知），∠BAC 是弧 BC 所对的圆周角，∴弧AB=弧BC。
∵弧AD=弧DC，弧AB=弧BC，∴∠ADB 对弧 AB、∠BDC 对弧 BC，而弧AB=弧BC，
∴∠ADB=∠BDC，∴DB 平分∠ADC。
求 ∠BAD：弧AD+弧DC+弧CB+弧BA=360°，且 弧AD=弧DC，弧AB=弧BC，
∴弧BD（=弧BC+弧CD）=180°，即 BD 是 ⊙O 的直径。
∴∠BAD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
（2）∵∠BAD=90°，∴BD 是圆的直径，设半径为 R，则 BD=2R。
以 BD 所在直线为 x 轴、圆心 O 为原点：B(R,0)，D(−R,0)。
∵BD 平分∠ABC，∴C 与 A 关于 x 轴对称，设 A(Rcosφ, Rsinφ)，则 C(Rcosφ, −Rsinφ)。
∵AC=AD：AC=2Rsinφ，AD=√((Rcosφ+R)²+R²sin²φ)=2Rcos(φ/2)，
∴sinφ=cos(φ/2)，即 2sin(φ/2)cos(φ/2)=cos(φ/2)，∴sin(φ/2)=1/2，φ=60°。
∴A(R/2, √3R/2)，C(R/2, −√3R/2)。
∵CF∥AD，AD 方向为 (√3,1)（由 D 指向 A 为 (3/2, √3/2)），直线 CF：C+t(3,√3)；
直线 AB：A+s(1,−√3)（向 B 及其延长方向）。联立解得交点 F=B+(R/4)(1,−√3)，
∴BF=√((R/4)²+(√3R/4)²)=R/2。
∵BF=2，∴R=4，即此圆的半径长为 4。
127.如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若∠D=35°，则∠C=___________°
∵直径AB平分弦CD（不是直径），∴由垂径定理AB⊥CD，且弧AC=弧AD（AB是对称轴，C与D关于AB对称）。
∵∠D=35°（即∠BDC=35°），∴弧BC的度数=70°。
∵∠ADB=90°（AB是直径），∴∠ADC=90°−35°=55°。
∵AC=AD，∴△ACD是等腰三角形，∴∠C=∠ADC=55°。
128.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC.
（1）求证：OD∥BC；
（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P.若OFBF=56，PE=1，求⊙O半径的长.
（1）证明：∵OD平分∠AOC，∴∠DOC=1/2∠AOC。
∵AB是⊙O的直径，A、O、B共线，∴∠BOC=180°−∠AOC。
∵OB=OC（均为半径），∴∠BCO=∠OBC=(180°−∠BOC)/2=1/2∠AOC。
∴∠DOC=∠BCO。
∵∠DOC与∠BCO是直线OD、BC被OC所截形成的内错角，
∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）。
（2）设⊙O的半径为r，∠AOD=∠COD=θ。
以O为原点、OB所在直线为x轴正方向建系：B(r,0)，
C=(−r·cos2θ, −r·sin2θ)，D=(−r·cosθ, −r·sinθ)，E=(r·cosθ, r·sinθ)（DE为直径）。
直线CE交x轴（即OB）于F，由定比分点可算得：
OF=r/(1+2cosθ)，BF=r−OF=2r·cosθ/(1+2cosθ)。
∴OF/BF=1/(2cosθ)=5/6，∴cosθ=3/5，sinθ=4/5。
∵PB切⊙O于B，AB是直径，∴PB⊥AB，即P在过B且垂直于AB的直线上；
又P在DE的延长线上（DE过原点、方向(cosθ, sinθ)），
∴P=(r, r·tanθ)，E=(r·cosθ, r·sinθ)。
PE=r·(1−cosθ)/cosθ=r×1−3/5/3/5=2r/3。
∵PE=1，∴2r/3=1，r=3/2。
∴⊙O的半径长为3/2。
129.如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°．夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为_______°．
夏至日太阳直射北回归线（D点，纬度23.5°N），光线GD所在直线经过地心O，
即光线方向沿DO方向。F在南回归线（纬度23.5°S）。
FI是⊙O的切线，∴FI⊥OF。
HF∥GD（即HF∥DO），∠FOB=23.5°（F在南回归线），∠DOB=23.5°。
∴光线与FO的夹角=∠DOB+∠FOB=23.5°+23.5°=47°。
∴太阳高度角∠IFH=90°−47°=43°。
130.如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD．
（1）求证：∠ADB=∠AOP；
（2）延长OP交DB的延长线于点E．若AP=10，tan∠AOP=12，求DE的长．
（1）证明：∵PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，且OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOP=∠BOP，即∠AOB=2∠AOP。
又弧AB所对的圆周角为∠ADB，所对的圆心角为∠AOB，
∴∠ADB=(1/2)∠AOB=∠AOP。
（2）解：设∠AOP=θ，则tanθ=1/2，
∴sinθ=1/√5，cosθ=2/√5，sin2θ=4/5，cos2θ=cos²θ−sin²θ=3/5。
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，tan∠AOP=AP/OA=1/2，又AP=10，
∴OA=20，OP=√(OA²+AP²)=√(400+100)=10√5，
∴⊙O的半径r=OA=20，OC=OP/2=5√5。
∵C是Rt△OAP斜边OP的中点，∴CA=CO=CP=OP/2=5√5，
∴∠OAC=∠AOC=θ，∠ACO=180°−2θ。
∵A、C、D三点共线（C在线段AD上），∴∠OCD=180°−∠ACO=2θ。
又OA=OD=20，∴∠ODA=∠OAD=∠OAC=θ，即∠ODC=θ。
∴在△OCD中，∠COD=180°−∠OCD−∠ODC=180°−2θ−θ=180°−3θ。
由（1）的证明知∠BOP=∠AOP=θ，且E在射线OP上，
∴∠POD=∠COD=180°−3θ，从而∠BOD=∠POD−∠POB=(180°−3θ)−θ=180°−4θ。
在△OBD中，OB=OD=20：
DB=2·OD·sin(∠BOD/2)=2×20×sin(90°−2θ)=40cos2θ=40×(3/5)=24；
∠OBD=∠ODB=[180°−(180°−4θ)]/2=2θ。
∵E在DB的延长线上，∴∠OBE=180°−∠OBD=180°−2θ。
又E在射线OP上，∴∠BOE=∠BOP=θ，
∴∠BEO=180°−∠OBE−∠BOE=180°−(180°−2θ)−θ=θ=∠BOE，
∴△OBE是等腰三角形，BE=OB=20。
∴DE=DB+BE=24+20=44。
131.如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AC为⊙O的直径，过点B作AC的垂线，垂足为E，交⊙O于点D，连接OP，CD．
（1）求证：∠ACD=∠POA；
（2）连接PC交BD于点F，若CE=2，tan∠ACD=√2，求BF的长．
（1）证明：连接OB、OD（AB）。
∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，
∴OP是∠APB的平分线，且由对称性OP垂直平分AB，∴∠AOP=∠BOP。
∵BE⊥AC，AC是直径，由垂径定理知 E 是 BD 的中点，即AC垂直平分BD，∴BC=CD。
∴∠BCD=∠CBD（即弧BC=弧CD）。
∵∠ACD与∠ABD是同弧弧AD所对的圆周角，∴∠ACD=∠ABD。
∵E在BD上，∴∠ABD=∠ABE，而BE⊥AC，∴∠ABE=90°−∠BAE=90°−∠BAC。
∵点 O 在 AC 上，∴∠BAE=∠OAB；在Rt△(OP与AB的交点G、A、O)中，OP⊥AB，
∴∠POA=90°−∠OAB。
∴∠ACD=∠ABD=90°−∠BAC=90°−∠OAB=∠POA。
（2）解：由（1）知 E 是 BD 的中点，设⊙O半径为 r，则OC=r，OE=r−2。
∵tan∠ACD=√2，且∠ADC=90°（AC 为直径），
在Rt△CED中，ED=EC·tan∠ACD=2√2，∴BE=ED=2√2，BD=4√2。
在Rt△OEB中：OB²=OE²+BE²，即r²=(r−2)²+8，∴4r=12，r=3。
∴OE=1，OC=3。以 O 为原点、AC 为 x 轴建系：O(0,0)，A(−3,0)，C(3,0)，E(1,0)，B(1,2√2)。
切线 PA 过A(−3,0)且OA⊥PA，∴PA 为直线x=−3；切线 PB：x_B x+y_B y=r²，即x+2√2y=9。
∴P=(−3, 3√2)。直线 PC：由P(−3,3√2)到C(3,0)，与直线 BD（x=1）相交：
代入得F=(1, √2)。
∴BF=BE−FE=2√2−√2=√2。
132.如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，FD=2.则BEEC的值为______．
∵AB∥EF∥CD，由平行线分线段成比例，截线 AD 与 BC 上的对应线段成比例：
BE/EC=AF/FD。
∵AO=2，OF=1，∴AF=AO+OF=3；又 FD=2，∴BE/EC=AF/FD=3/2。
133.某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
| 使用寿命 | x<1000 | 1000≤x<1600 | 1600≤x<2200 | 2200≤x<2800 | x≥2800 |
|---|---|---|---|---|---|
| 灯泡只数 | 5 | 10 | 12 | 17 | 6 |
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只．
样本中使用寿命不小于 2200 小时的灯泡有 17+6=23 只，占样本的 23/50。∴估计 1000 只中不小于 2200 小时的有 1000×23/50=460（只）。
134.某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：
50.03 49.98 50.00 49.99 50.02
49.99 50.01 49.97 50.00 50.02
当一个工件的质量x（单位：g）满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是___________.
10 个数据中满足49.98≤x≤50.02的有：50.03（否）、49.98（是）、50.00（是）、49.99（是）、50.02（是）、49.99（是）、50.01（是）、49.97（否）、50.00（是）、50.02（是），共 8 个。
∴一等品频率=8/10=0.8，估计这 200 个工件中一等品约有200×0.8=160个。
135.某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：kg/m2），并根据七年级男生体质健康标准整理如下：
| 等级 | 低体重 | 正常 | 超重 | 肥胖 |
|---|---|---|---|---|
| BMI | ≤15.4 | 15.5~22.1 | 22.2~24.9 | ≥25.0 |
| 人数 | 6 | 75 | 15 | 4 |
根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是_______．
样本中“正常”占75/100，∴估计该地区 2000 名男生中 BMI 等级为正常的有2000×75/100=1500（人）。
136.某学校共有2000名学生．为了解这些学生放假期间每周体育活动时间（单位：h）的情况，从中随机抽取了100名学生进行调查，数据整理如下：
| 每周体育活动时间 | x<8 | 8≤x<10 | 10≤x<12 | 12≤x<14 | x≥14 |
|---|---|---|---|---|---|
| 学生人数 | 3 | 7 | 55 | 24 | 11 |
学校建议，每周体育活动时间小于10 h的学生应适当增加体育活动时间．根据以上信息．估计该学校2000名学生中应适当增加体育活动时间的学生人数是________．
样本中每周体育活动时间小于 10 h 的学生人数为3+7=10人，占10/100。
∴估计全校 2000 名学生中应适当增加体育活动时间的人数约为2000×10/100=200（人）。
137.有甲､乙两组数据，如表所示：
| 甲 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| 乙 | 12 | 12 | 13 | 14 | 14 |
甲､乙两组数据的方差分别为s甲2,s乙，则s甲______________s乙（填“＞”，“＜”或“＝”）．
甲组数据 11、12、13、14、15 的平均数为 13，方差 s²甲=[(−2)²+(−1)²+0²+1²+2²]/5=10/5=2；乙组数据 12、12、13、14、14 的平均数为 13，方差 s²乙=[(−1)²+(−1)²+0²+1²+1²]/5=4/5。∵s²甲＞s²乙，∴s甲＞s乙。（甲组数据波动更大，更分散。）
138.为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x<8,8≤x<10,10≤x<12,12≤x<14,14≤x≤16）：
b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x<12这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8
c．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入数据的平均数､中位数如下：
| 平均数 | 中位数 | |
|---|---|---|
| 甲城市 | 10.8 | m |
| 乙城市 | 11.0 | 11.5 |
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1,p2的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
（2）p₁＜p₂。理由：甲城市的平均数为 10.8，收入高于 10.8 的企业：10≤x<12 这一组中有 10.9、11.4、11.5、11.6、11.8 共 5 家，加上 12≤x<14 的 4 家和 14≤x≤16 的 3 家，p₁=5+4+3=12。
乙城市的平均数为 11.0，中位数为 11.5，说明乙城市至少有一半（不少于 13 家）企业的收入不低于 11.5，而 11.5>11.0，∴p₂≥13＞12=p₁，∴p₁＜p₂。
（3）200×11.0=2200（百万元）。
∴估计乙城市邮政企业 4 月份的总收入约为 2200 百万元。
139.某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：
| 鞋号 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 销售量/双 | 2 | 4 | 5 | 5 | 12 | 6 | 3 | 2 | 1 |
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双．
40 双滑冰鞋中鞋号 39 的销售量为 12 双，最多，∴39 号是众数，需求量占比为 12/40=3/10。按比例估计，进 400 双滑冰鞋时 39 号鞋应为 400×3/10=120（双）。
140.某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学得分的折线图：
b．丙同学得分：
10，10，10，9，9，8，3，9，8，10
c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：
| 同学 | 甲 | 乙 | 丙 |
|---|---|---|---|
| 平均数 | 86 | 8.6 | m |
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求表中m的值；
（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）；
（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）．
（2）由折线图读得：甲的得分为 8、8、9、7、9、9、7、9、10、10，平均数 8.6，方差 s²甲=[(−0.6)²×2+0.4²×4+(−1.6)²×2+1.4²×2]/10=(0.72+0.64+5.12+3.92)/10=1.04；
乙的得分为 7、10、7、9、10、7、9、10、7、10，平均数 8.6，方差 s²乙=[(−1.6)²×4+1.4²×4+0.4²×2]/10=(10.24+7.84+0.32)/10=1.84。
∵s²甲<s²乙，∴评委对 甲 的评价更一致。
（3）甲：去掉一个最高分 10 和一个最低分 7，其余 8 个数之和为 86−17=69，平均分 69/8=8.625；
乙：去掉一个最高分 10 和一个最低分 7，其余 8 个数之和为 86−17=69，平均分 8.625；
丙：去掉一个最高分 10 和一个最低分 3，其余 8 个数之和为 86−13=73，平均分 73/8=9.125。
∵9.125 最大，∴表现最优秀的是 丙。
141.某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
| 平均数 | 中位数 | 众数 |
|---|---|---|
| 166.75 | m | n |
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
| 甲组学生身高 | 162 | 165 | 165 | 166 | 166 |
|---|---|---|---|---|---|
| 乙组学生的身高 | 161 | 162 | 164 | 165 | 175 |
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为329．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．
（2）甲组：平均数=(162+165+165+166+166)/5=164.8，
方差=[(162−164.8)²+(165−164.8)²×2+(166−164.8)²×2]/5=(7.84+0.08+2.88)/5=2.16；
乙组：平均数=(161+162+164+165+175)/5=165.4，
方差=[(161−165.4)²+(162−165.4)²+(164−165.4)²+(165−165.4)²+(175−165.4)²]/5=(19.36+11.56+1.96+0.16+92.16)/5=25.04。
∵2.16<25.04，甲组方差小，∴舞台呈现效果更好的是 甲组。
（3）选出的另外两名学生的身高分别为 170 和 172。
（提示：已确定三名学生身高 168、168、172。要使五人身高方差小于 32/9，新加的两名身高必须与 168、172 接近；在此前提下为使平均数尽可能大，应选身高较大的。逐一验证：选 170、172 时，五人身高为 168、168、170、172、172，平均数 170，方差=[(−2)²×2+0²+2²×2]/5=16/5=3.2<32/9≈3.56，成立；若选 172、172，方差为 3.84>32/9，不成立。∴选 170 和 172。）
142.某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
（1）初赛由10名数师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.教师评委打分：
86 88 90 91 91 91 91 92 92 98
b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组82≤x<85，第2组85≤x<88，第3组88≤x<91，第4组91≤x<94，第5组94≤x<97，第6组97≤x≤100）：
c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
| 平均数 | 中位数 | 众数 | |
|---|---|---|---|
| 教师评委 | 91 | 91 | m |
| 学生评委 | 90.8 | n | 93 |
根据以上信息，回答下列问题：
①m的值为___________，n的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为̅x，则̅x___________91（填“>”“=”或“<”）；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
| 评委1 | 评委2 | 评委3 | 评委4 | 评委5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 甲 | 93 | 90 | 92 | 93 | 92 |
| 乙 | 91 | 92 | 92 | 92 | 92 |
| 丙 | 90 | 94 | 90 | 94 | k |
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中k（k为整数）的值为____________.
（1）①m是教师评委打分的众数：教师打分中 91 分出现 4 次（最多），∴m=91。
学生评委共 45 人，中位数是从小到大第 23 个数据。由频数分布直方图，前三组累计2+6+14=22个，
第 23 个数据落在第 4 组（91≤x<94），∴n（学生中位数）位于第 4 组。
②去掉最高分 98 和最低分 86，其余 8 个数为 88、90、91、91、91、91、92、92，
平均数=(910−98−86)/8=726/8=90.75<91，∴填“<”。
（2）甲的平均数=(93+90+92+93+92)/5=92，方差=[(1)²+(−2)²+0²+1²+0²]/5=6/5；
乙的平均数=(91+92×4)/5=91.8，方差=[(−0.8)²+4×0.2²]/5=0.16；
丙的平均数=(90+94+90+94+k)/5=(368+k)/5。
若丙排序居中，因甲的平均数 92 最大，则需乙≤丙≤甲或甲≤丙≤乙，
即91.8≤(368+k)/5≤92（或反向），∴91≤k≤92。
若k=91：丙平均数=91.8=乙的平均数，按“方差小的靠前”，乙方差 0.16 小于丙方差，丙排乙后，丙居末，不合题意；
若k=92：丙平均数=92=甲的平均数，丙方差=[(−2)²+2²+(−2)²+2²+0²]/5=16/5=3.2大于甲方差6/5，
∴甲排丙前。此时顺序为甲、丙、乙，丙居中，符合题意。
∴排序最靠前的是甲，k=92。
143.校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两名运动员10次测试成绩折线图：
b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
|---|---|---|---|---|
| 平均数 | 12.5 | 12.5 | p | 12.5 |
| 中位数 | m | 12.5 | 12.8 | 12.45 |
| 方差 | 0.056 | n | 0.034 | 0.056 |
（1）表中m的值为_______；
（2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）；
（3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______．
由折线图读出：甲的10次成绩为12.9、12.1、12.5、12.7、12.1、12.5、12.7、12.5、12.5、12.5；
乙的10次成绩为12.6、12.6、12.3、12.5、12.5、12.7、12.5、12.7、12.4、12.2。
（1）把甲的10次成绩从小到大排列：12.1、12.1、12.5、12.5、12.5、12.5、12.5、12.7、12.7、12.9，
处于中间位置的是第5、6个数，均为12.5，∴中位数m=(12.5+12.5)/2=12.5。
（2）乙的平均数=(12.6+12.6+12.3+12.5+12.5+12.7+12.5+12.7+12.4+12.2)/10=125.0/10=12.5。
∴n=[(12.6−12.5)²×2+(12.3−12.5)²+(12.5−12.5)²×3+(12.7−12.5)²×2+(12.4−12.5)²+(12.2−12.5)²]/10
=(0.01×2+0.04+0+0.04×2+0.01+0.09)/10=0.24/10=0.024。
∵0.024<0.056，∴填“<”。
（3）①先比平均数：p为丙的平均数，由丙的成绩算得p=127.0/10=12.7，是四人中最大的，∴丙实力最弱；
②甲、乙、丁的平均数都是12.5，再比方差：n=0.024最小，∴乙最强；甲、丁的方差都是0.056；
③甲、丁方差相等，再比“成绩小于平均数的次数”：甲的成绩小于12.5的有2次（两个12.1）；
丁的中位数为12.45，说明丁按从小到大排列后第5个成绩不超过12.45，即丁至少有5次成绩小于12.5，
∴小于平均数的次数丁比甲多，∴丁比甲强。
综上，实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙。
144.若干名学生参加编程比赛，比赛共8轮，每轮有3道题，每人每轮的得分为该轮答对题目的数量（得分为整数）．已知甲、乙两名学生8轮得分的情况如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲8轮得分的平均数为________，乙8轮得分的平均数为________；
（2）记甲、乙8轮得分的方差分别为s甲2和s乙2，则s甲2________s乙2（填“>”“=”或“<”）；
（3）如果丙8轮得分的中位数为2.5，那么丙8轮得分的平均数是不是一定大于乙8轮得分的平均数？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
由统计图：甲 8 轮得分中，得 0 分 1 次、1 分 2 次、2 分 1 次、3 分 4 次；
乙 8 轮得分依次为 2、3、2、2、2、2、0、3。
（1）甲的平均数=(0×1+1×2+2×1+3×4)/8=16/8=2；
乙的平均数=(2+3+2+2+2+2+0+3)/8=16/8=2。
（2）s_甲²=[(0−2)²+(1−2)²×2+(2−2)²+(3−2)²×4]/8=(4+2+0+4)/8=10/8=1.25；
s_乙²=[(2−2)²×4+(3−2)²×2+(0−2)²]/8=(0+2+4)/8=6/8=0.75。
∴s_甲²>s_乙²。
（3）不一定。反例：丙 8 轮得分为 0、0、0、2、3、3、3、3，
从小到大排列后第 4 个数是 2、第 5 个数是 3，中位数=(2+3)/2=2.5，符合条件；
但丙的平均数=14/8=1.75<2=乙的平均数。
145.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ）
同时抛掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能的结果为（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共 4 种，其中“一枚正面向上、一枚反面向上”包含（正，反）、（反，正）2 种，故所求概率 P=2/4=1/2。故选 C。
146.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
有放回地摸球，第一次摸到红球的概率为 1/2，放回后第二次摸到绿球的概率仍为 1/2，两步相互独立，∴P=1/2×1/2=1/4。故选 A。（也可列表：所有结果（红，红）（红，绿）（绿，红）（绿，绿）共 4 种等可能结果，符合题意的只有 1 种。）
147.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（ ）
第一次正面向上的概率为 1/2，第二次反面向上的概率为 1/2，两次相互独立，∴P=1/2×1/2=1/4。故选 A。
148.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ）
每次取到白球的概率都是1/2，两次放回抽取相互独立，
∴两次都取到白球的概率=1/2×1/2=1/4。故选 D。
149.一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ）
共有 6 个球，白球 1 个，∴P(白球)=1/6。故选 A。
150.一个不透明的袋子中仅有5个球，其中有1个白球、1个黄球，其余都是红球，这5个球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
袋中共 5 个球，其中白球 1 个、黄球 1 个，红球5−1−1=3个，
∴P(红球)=3/5。故选 D。
151.某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为(4a+1)小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为(2b+3)小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A,B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则mn的值为______________．
第一天：设分配到 A 生产线的吨数为 x 吨，则 B 生产线为 (5−x) 吨。由加工时间相同得 4x+1=2(5−x)+3，解得 x=2，∴B 生产线分得 3 吨。∴分配到 A、B 两条生产线的吨数比为 2:3。
第二天：A 生产线共加工 (2+m) 吨、B 生产线共加工 (3+n) 吨。加工时间由各自的时间函数确定：A 生产线加工 x 吨需 (4x+1) 小时，B 生产线加工 x 吨需 (2x+3) 小时。由加工时间相同得 4(2+m)+1=2(3+n)+3，即 4m+9=2n+9，∴2m=n，即 m/n=1/2。
152.甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：
| 包裹编号 | I号产品重量/吨 | II号产品重量/吨 | 包裹的重量/吨 |
|---|---|---|---|
| A | 5 | 1 | 6 |
| B | 3 | 2 | 5 |
| C | 2 | 3 | 5 |
| D | 4 | 3 | 7 |
| E | 3 | 5 | 8 |
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．
（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；
（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．
（1）需要 I 号产品 9~11 吨，且包裹总重不超过 19.5 吨。例如选 A、D：I 号产品 5+4=9 吨，符合 9≤9≤11，总重 6+7=13≤19.5 吨，可行。（B+C+D、A+B+C、A+C+E 等也符合。）
（2）在各方案中比较 II 号产品重量：
①A、B、C：I=10，II=1+2+3=6，总重 16；②A、C、D：I=11，II=1+3+3=7，总重 18；
③B、C、D：I=9，II=2+3+3=8，总重 17；④A、B、E：I=11，II=1+2+5=8，总重 19；
⑤A、C、E：I=10，II=1+3+5=9，总重 19；⑥B、D、E：I=10，II=2+3+5=10，总重 20＞19.5，超载；⑦C、D、E：I=9，II=3+3+5=11，总重 20＞19.5，超载。
∴满足条件的方案中 II 号产品最多为 9 吨，装运方案为 A、C、E。
153.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
| 工序 | A | B | C | D | E | F | G |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 所需时间/分钟 | 9 | 9 | 7 | 9 | 7 | 10 | 2 |
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟．
一名学生单独完成：所有工序依次进行，需 9+9+7+9+7+10+2=53（分钟）。
两名学生合作：A、B 可同时开工，G 无前置工序要求，可安排在任一空闲时段：
学生甲：A(0~9)→D(9~18)→F(18~28)；学生乙：B(0~9)→C(9~16)→G(16~18)→E(18~25)。
（E 须在 B、D 都完成后开始，D 于 18 分钟完成，故 E 从 18 开始；F 须在 C、D 都完成后开始，最早 18 分钟。）
∴两名学生合作最少需要 28 分钟。
154.联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：
| 节目 | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| 演员人数 | 10 | 2 | 10 | 1 |
| 彩排时长 | 30 | 10 | 20 | 10 |
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。
若节目按“A-B-C-D”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min；
若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
第一空：按“A−B−C−D”顺序，节目 D 排在最后，前面 A、B、C 彩排共用30+10+20=60 min，
∴节目 D 的演员候场时间为 60 min。
第二空：每位演员的候场时间＝他参演节目开始前所有节目的彩排时长之和。
总候场时间=Σ（每个节目的时长）×（排在该节目之后的演员总数）。
各节目“时长/演员人数”之比：A 为30/10=3，B 为10/2=5，C 为20/10=2，D 为10/1=10。
要使总候场时间最小，应按比值从小到大排序，即 C−A−B−D。
此时总候场时间=20×(10+2+1)+30×(2+1)+10×1=260+90+10=360（min），为最小值。
∴应按 C、A、B、D 的先后顺序彩排。
155.某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：
| n=1 | n=2 | n=3 | n=4 | n=5 | n=6 | … | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 40 | 60 | |||||
| B | 30 | 55 | 75 | 90 | 100 | 105 | |
| C | 20 | 40 | 60 | 70 | 80 | 90 | … |
| D | 14 | 38 | 62 | 86 | 110 | 134 | … |
（1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）；
（2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元．
把每多分 1 台设备增加的利润（边际利润）列出来（后者必须在前者已分的前提下）：
A：40，20； B：30，25，20，15，10，5； C：20，20，20，10，10，10； D：14，24，24，24，24，24。
（1）每家先各分 1 台，还剩 1 台，看“第 2 台的增量”：A 为60−40=20，B 为55−30=25，C 为40−20=20，D 为38−14=24。
B 的增量 25 最大，∴应向经销商 B 分配 2 台。
（2）6 台设备的总利润最大，即选 6 个满足“先后顺序”约束的最大增量：
候选大增量：A 第1台 40；B 第1台 30、第2台 25；D 的第2台起每台 24（但取 D 的 24 必须先取第 1 台的 14）。
方案比较：
A(1)+B(2)+D(3)：40+55+62=157；
A(1)+B(1)+D(4)：40+30+86=156；
A(2)+B(2)+C(2)：60+55+40=155；
A(1)+B(3)+D(2)：40+75+38=153；D(5)+B(1)：110+30=140；D(6)：134。
∴最大总利润为40+55+62=157（万元），分配方案为 A 得 1 台、B 得 2 台、D 得 3 台。
156.如图所示，公路旁自西向东依次有A1，A2，…，A6共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校．
已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为2.5min，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为1min，校车从A6处至学校的行驶时间为20min．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）．
（1）若车站设在A2处，则住在A6处的学生的理想通勤时间为________min；
（2）若当车站设在Ak处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则k=________．
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
（1）车站在A₂处，住在A₆处的学生步行4个间隔：4×2.5=10 min；
校车从A₂向东至学校：4×1+20=24 min。∴理想通勤时间为10+24=34 min。
（2）车站设在Aₖ处时，6 名学生的步行总时间为2.5Σ|i−k|，校车行驶总时间为6×[(6−k)×1+20]。
各站总时间（min）：
k=1：37.5+150=187.5；k=2：27.5+144=171.5；k=3：22.5+138=160.5；
k=4：22.5+132=154.5；k=5：27.5+126=153.5；k=6：37.5+120=157.5。
∴k=5时总时间最小，k=5。
157.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE．
（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；
（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．
证明：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAC−∠CAE=∠DAE−∠CAE，即∠BAE=∠CAD。
在 △ABE 和 △ACD 中，AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD（旋转不改变线段长度），
∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE=CD。
∵M 为 BC 的中点，∴BM=CM=CD+DM=BE+DM，即 BE+MD=BM。
（2）NE=ND。证明如下：
由（1）知 △ABE≌△ACD，∴BE=CD，∠ABE=∠ACD。
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ABC，即 BA 平分∠EBC（E 与 C 在直线 AB 的两侧）。
将点 E 关于直线 AB 作对称，得到点 E′，则 E′ 在射线 BC 上，且 BE′=BE=CD，EE′⊥AB。
∵BE′+BD=CD+BD=BC，即 E′ 与 D 关于 BC 的中点 M 对称，∴M 为 DE′ 的中点。
∵MN⊥AB，EE′⊥AB，∴MN∥EE′。
在 △DEE′ 中，M 为 DE′ 的中点，MN∥EE′，由平行线分线段成比例（中位线定理的逆用）得 N 为 DE 的中点，
∴NE=ND。
158.在△ABC中，∠ACB=90∘，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
∵连接四边形 BDFE 的两条对角线 BF、DE，它们相交于点 C 且互相平分，
∴四边形 BDFE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∴EF∥BD。
∵AF⊥EF，∴BD⊥AF（垂直于平行线中的一条直线，必垂直于另一条）。
（2）CD 与 CH 的数量关系：CD=CH。
证明：作点 B 关于点 C 的对称点 B′（延长 BC 到 B′，使 CB′=CB），连接 EB′、AB′。
∵C 为 BB′、DE 的中点，∴线段 DB 与 EB′ 关于点 C 中心对称，∴EB′=DB，EB′∥DB。
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BB′，又 C 为 BB′ 中点，∴AC 垂直平分 BB′，∴AB′=AB。
∵AB²=AE²+BD²，∴AB′²=AE²+EB′²，∴∠AEB′=90°（勾股定理的逆定理），即 AE⊥EB′。
∵EB′∥BD，∴AE⊥BD，即 ∠DHE=90°（H 为 AE 与 BD 的交点）。
在 Rt△DHE 中，∠DHE=90°，C 为斜边 DE 的中点，
∴CH=½DE=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
159.在△ABC中、∠B=∠C=α(0°<α<45°)，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．
∵点 D 在 MC 上（M、D、C 共线），∴∠CDE=180°−∠MDE=180°−2α。
∵点 E 在 AC 上，∴在 △DEC 中，∠DEC=180°−∠C−∠CDE=180°−α−(180°−2α)=α。
∴∠DEC=∠C=α，∴DC=DE（等角对等边）。
又 DE=DM，∴DC=DM，∴D 是 MC 的中点。
（2）∠AEF=90°。
证明（解析法）：以 M 为原点、BC 所在直线为 x 轴、MA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系。设 AM=h（h>0）。
∵∠B=∠C=α，AM⊥BC，∴MB=MC=h·cotα（等腰三角形三线合一）。设 D(d,0)（0<d<MC）。
∵将 DM 绕点 D 顺时针旋转 2α 得 DE，∴DE=DM=d，E 的坐标为：
E=(d−d·cos2α, d·sin2α)=(2d·sin²α, 2d·sinα·cosα)。
∵DF=DC 且 F、D、C 都在 x 轴上（F 在 BM 上，D 在 MC 上，D 在 F、C 之间），
∴F=(2d−h·cotα, 0)。
向量 EA=A−E=(−2d·sin²α, h−2d·sinα·cosα)，
向量 EF=F−E=(2d·cos²α−h·cotα, −2d·sinα·cosα)。
计算数量积：
EA·EF=(−2d·sin²α)(2d·cos²α−h·cotα)+(h−2d·sinα·cosα)(−2d·sinα·cosα)
=−4d²·sin²α·cos²α+2dh·sin²α·cotα−2dh·sinα·cosα+4d²·sin²α·cos²α
=2dh·sin²α·(cosα/sinα)−2dh·sinα·cosα
=2dh·sinα·cosα−2dh·sinα·cosα=0。
∴EA⊥EF，即 ∠AEF=90°。
160.已知∠MAN=α(0°<α<45°)，点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°-2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E.
（1）如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点；
（2）如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明。
（1）证明：由旋转知BD=BC，∠CBD=180°−2α。
∵点D在射线AN上，∴∠ABC=180°−∠CBD=2α。
∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=1/2(180°−∠CBD)=α。
∵DE⊥AN，∴∠ADE=90°，∴∠CDE=∠ADE−∠ADC=90°−α。
在△ACD中，∠DAC=α，∠ADC=∠BDC=α，∴AC=DC。
∵∠ACD=180°−α−α=180°−2α，∴∠ECD=180°−∠ACD=2α。
∴∠CED=180°−∠ECD−∠CDE=180°−2α−(90°−α)=90°−α=∠CDE，∴CE=CD。
∴AC=CD=CE，∴C是AE的中点。
（2）EF=2AC。证明（坐标法）：
以A为原点、射线AN为x轴正方向建系，设∠MAN=α。
设B(b, 0)，C在射线AM上且AC=c，则C=(c·cosα, c·sinα)。
BD由BC绕B顺时针旋转180°−2α得到（顺时针旋转180°−2α相当于乘−e²ⁱα），
∴D=b(1+cos2α)−c·cos3α+(b·sin2α−c·sin3α)i，即
Dₓ=b(1+cos2α)−c·cos3α，D_y=b·sin2α−c·sin3α。
∵DE⊥AN，E在射线AM上：AE=Dₓ/cosα；
∵DF∥AN，F在射线AM上：AF=D_y/sinα。
∴EF=AE−AF=b[(1+cos2α)/cosα−sin2α/sinα]+c[sin3α/sinα−cos3α/cosα]。
由(1+cos2α)/cosα=2cosα，sin2α/sinα=2cosα，b 的两项相消为 0；
由cos3α/cosα=4cos²α−3，sin3α/sinα=4cos²α−1，
∴EF=c·[(4cos²α−1)−(4cos²α−3)]=2c=2AC。
∴EF=2AC。
161.在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AE（点E不在直线AB上），过点E作EF∥AB，交直线BC于点F．
（1）如图1，α=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC；
（2）如图2，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明．
建立平面直角坐标系：以点C为原点，直线BC为x轴，射线CB为x轴正方向，射线CA为y轴正方向。
设BC=b，AC=a，则C(0,0)，B(b,0)，A(0,a)。由∠ABC=α得tanα=AC/BC=a/b。
∴sin2α=2tanα/(1+tan²α)=2ab/(a²+b²)，cos2α=1−tan²α/1+tan²α=b²−a²/a²+b²。
记L=a²+b²。设D(d,0)（D在射线BC上）。
记旋转角β=180°−2α，则cosβ=−cos2α=(a²−b²)/L，sinβ=sin2α=2ab/L。
向量向量AD=(d,−a)，将其绕点A逆时针旋转β得向量AE：
向量AE=(d·cosβ+a·sinβ, d·sinβ−a·cosβ)
=([d(a²−b²)+2a²b]/L, [2abd−a(a²−b²)]/L)。
∴E=A+向量AE，其纵坐标
E_y=a+[2abd−a³+ab²]/L=[a(a²+b²)+2abd−a³+ab²]/L=[2ab²+2abd]/L=2ab(b+d)/L。
∵EF∥AB，而向量AB=(b,−a)，故可设F=E+u(b,−a)。
由F在x轴上：E_y−ua=0，∴u=E_y/a=2b(b+d)/L。
∴F的横坐标
x_F=Eₓ+ub=[d(a²−b²)+2a²b]/L+2b²(b+d)/L
=[da²−db²+2a²b+2b³+2b²d]/L=[d(a²+b²)+2b(a²+b²)]/L=d+2b。
即F(d+2b, 0)，而D(d, 0)，∴DF=|(d+2b)−d|=2b=2BC。
（1）当α=45°时，tanα=a/b=1，∴a=b，即AC=BC。又D与C重合，∴d=0，
代入上式得F(2b,0)。而B(b,0)，∴BF=2b−b=b。
∴BF=b=a=AC，即BF=AC。
（2）由上面的一般结论（对任意α与射线BC上任意点D均成立），
在图2的情形下同样有DF=2b=2BC。
∴DF与BC的数量关系为DF=2BC。
∴DF=2BC。
162.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0°<α<60°)，过AC的中点D作AC的垂线l，交AB于点E，点M在DE的延长线上，∠ABM=30°．
（1）如图1，α=30°，求证：AB=2DM；
（2）如图2，点N在ED的延长线上，∠ABN=30°，连接AM，AN，直接写出∠MAN的大小，并证明．
（1）证明：∵∠BAC=30°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=75°。
∵D是AC的中点，l⊥AC，∴在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，
∴∠AED=60°，DE=AD·tan30°=AD·(√3/3)，AE=AD/cos30°=2AD·(√3/3)。
∵M在DE的延长线上，∴∠BEM=∠AED=60°（对顶角）。
∵ E 在 AB 上，∴∠EBM=∠ABM=30°，
∴在△BEM中，∠EMB=180°−60°−30°=90°，∴EM=BE·sin30°=BE/2。
设AD=1（则AB=AC=2）：DE=√3/3，AE=2√3/3，BE=2−2√3/3，
EM=1−√3/3。
∴DM=DE+EM=√3/3+1−√3/3=1=AB/2。
∴AB=2DM。
（2）∠MAN=60°。
证明：过点 A 作AH⊥BM，交 BM 的延长线于点 H；作AF⊥BN，交 BN 的延长线于点 F。
在Rt△ABH与Rt△ABF中，∠ABH=∠ABF=30°，
∴AH=AF=AB·sin30°=AB/2，又D是AC中点且AB=AC，∴AD=AC/2=AB/2，
∴AH=AF=AD。
∵AH=AD，AM=AM，∴Rt△AHM≌Rt△ADM（HL），∴∠HAM=∠DAM；
∵AF=AD，AN=AN，∴Rt△ANF≌Rt△AND（HL），∴∠FAN=∠DAN。
又∠HAB=90°−30°=60°，∠BAF=90°−30°=60°。
∵射线 AM 在射线 AH 与 AB 之间，∴∠MAB=∠HAB−∠HAM=60°−∠MAD，
又∠MAD=∠MAB+∠BAD=∠MAB+α，∴2∠MAD=60°+α，∠MAD=30°+α/2；
同理，射线 AN 在射线 AB 与 AF 之间，∴∠BAN=∠BAF−∠FAN=60°−∠DAN，
又∠BAN=∠BAD+∠DAN=α+∠DAN，∴2∠DAN=60°−α，∠DAN=30°−α/2；
∴∠MAN=∠MAD+∠DAN=(30°+α/2)+(30°−α/2)=60°。
163.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B'C'（B',C'分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横､纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是______________；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB=1,AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
（判定思路：旋转前后线段长度不变、点 A 到各端点的距离不变。B₁C₁ 的端点到 A 的距离为 3，超过 A 到 ⊙O 上任意一点的最大距离 √2+1，不可能；对 B₃C₃，设旋转角为 θ，可推出所需 cosθ、sinθ 不满足 cos²θ+sin²θ=1，也不可能；对 B₂C₂（A(−1,1)，B₂(0,3)，C₂(−1,2)），绕 A 顺时针旋转 90° 后 B₂ 落在 (1,0)、C₂ 落在 (0,1)，均为 ⊙O 上的点，∴B₂C₂ 是关联线段。）
（2）设旋转后 B′C′ 为 ⊙O 的弦。由旋转性质：|AB′|=|AB|=1，|AC′|=|AC|=1，且弦长 B′C′=BC=1。
⊙O 半径为 1、弦长为 1 的弦，其弦心距为 √(1²−(1/2)²)=√3/2。
∵AB′=AC′=B′C′=1，∴△AB′C′ 是等边三角形，A 到弦 B′C′ 的距离为等边三角形的高 √3/2，且 A 与 O 在弦 B′C′ 同侧或异侧。
∴OA=√3/2+√3/2=√3 或 OA=√3/2−√3/2=0（舍去，A 与 O 重合时 t=0）。
∴t=±√3。
（3）OA 的最小值为 1，此时 BC=√3；OA 的最大值为 2，此时 BC=√6/2。
（提示：旋转后 C′ 既在 ⊙O 上又在以 A 为圆心、2 为半径的圆上，∴OA≥|AC′|−|OC′|=2−1=1，即 OA≥1。当 OA=1 时（A、O、C′ 共线，C′ 为 A 的对径点方向），B′ 与 O、A 构成等边三角形，可求得∠BAC=60°，BC=√(1+4−2×1×2×cos60°)=√3；旋转后 B′ 既在 ⊙O 上又在以 A 为圆心、1 为半径的圆上，∴OA≤|AB′|+|OB′|=2，即 OA≤2。当 OA=2 时 B′ 为 AO 的中点，可求得 cos∠BAC=7/8，BC=√(5−4×7/8)=√(3/2)=√6/2。）
164.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(-2,0),点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12OM;
（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(12<t<1)，若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）
②证明：由平移知 PP′∥OM，且 PP′=OM。
∵Q 与 P′ 关于点 N 对称，∴N 为 P′Q 的中点。
设 PQ 与 ON 交于点 T。取 PQ 的中点 T′，在 △PP′Q 中，N、T′ 分别为 P′Q、PQ 的中点，∴NT′ 是 △PP′Q 的中位线，
∴NT′∥PP′∥OM，且 NT′=½PP′=½OM。
∵N 在射线 OM 上，过 N 平行于 OM 的直线就是直线 ON，∴T′ 在直线 ON 上，即 T′ 与 T 重合。
∴NT=½OM。
（2）(2t−1)M −2P 的模长范围：PQ 的最大值与最小值的差为 4t−2。
（提示：设 M(a,b)，则 P′=P+(a,b)，Q=2N−P′=2tM−P−M=(2t−1)M−P，其中 N=tM（N 在线段 OM 上，ON=t）。
∴PQ=|Q−P|=|(2t−1)M−2P|。∵M 在半径为 1 的圆上运动，∴(2t−1)M 在半径为 (2t−1) 的圆上运动，而 2P 为定点。
∵P 在 ⊙O 外，|2P|>2>2t−1，∴|(2t−1)M−2P| 的最大值为 2|P|+(2t−1)，最小值为 2|P|−(2t−1)。
∴差的 最大值−最小值=2(2t−1)=4t−2。）
165.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：
若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．
（1）如图，点A(-1,0)，B1(-√22,√22)，B2(√22,-√22)
①在点C1(-1,1)，C2(-√2,0)，C3(0,√2)中，弦AB1的“关联点”是______．
②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；
（2）已知点M(0,3)，N(6√55,0)．对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
（判定：C₁(−1,1)：直线 C₁A 为 x=−1，恰是过点 A 的切线；直线 C₁B₁ 为 y=−x，经过点 O，∴C₁ 是关联点。C₂(−√2,0)：直线 C₂A 为 x 轴，经过点 O；直线 C₂B₁ 为 y=x+√2，恰是过点 B₁ 的切线（B₁ 在该直线上，且半径 OB₁ 的斜率为 −1，与该直线垂直），∴C₂ 是关联点。C₃(0,√2)：直线 C₃B₁ 是过 B₁ 的切线，但另一条直线 C₃A 既不经过 O 也不是切线，∴C₃ 不是。）
②OC=√2。
（提示：弦 AB₂ 的端点 A(−1,0)、B₂(√2/2,−√2/2)。若直线 CA 经过 O，则 C 在直线 OA（x 轴）或直线 OB₂（y=−x）上；另一条直线须是切线：过 A 的切线 x=−1 与 y=−x 交于 (−1,1)，OC=√2；过 B₂ 的切线 y=x−√2 与 x 轴交于 (√2,0)，OC=√2。两种情形 OC 均为 √2。）
（2）t 的取值范围是 1≤t≤(2√3)/3 或 (2√6)/3≤t≤√3，即 t∈[1, (2√3)/3]∪[(2√6)/3, √3]。
（提示：设 |OS|=s。S 是关联点时，弦 PQ 的一端 P 在直线 OS 上，另一端 Q 是自 S 引的切线的切点，|SQ|=√(s²−1)。
∵OM=3，ON=6√5/5，MN=√(9+36/5)=9√5/5，∴O 到直线 MN 的距离 d=3×(6√5/5)÷(9√5/5)=2，且垂足在线段 MN 上，∴S 在线段 MN 上运动时 s=|OS| 的范围是 2≤s≤3。
弦 PQ 的长：取 P 为直线 OS 与 ⊙O 的交点（两个交点均可），Q 为切点。
以 O 为原点、OS 方向为 x 轴：S=(s,0)，切点 Q=(1/s, ±√(1−1/s²))，P=(±1,0)。
∴PQ²=(1∓1)²+(1−1/s²)=(1∓1/s)²？细致计算：P=(1,0) 时 PQ²=2−2/s；P=(−1,0) 时 PQ²=2+2/s。
∴t=√(2−2/s)（s∈[2,3] 时 t 从 1 增到 √(4/3)=2√3/3），或 t=√(2+2/s)（t 从 √3 减到 √(8/3)=2√6/3）。
∴t 的取值范围为 [1, 2√3/3]∪[2√6/3, √3]。若题目只要求 t 的整体范围，可答 t 最小值为 1，最大值为 √3。）
166.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C'在⊙O上或其内部，且∠ACB=α，则称点C是弦AB的“α可及点”．
（1）如图，点A(0,1)，B(1,0)．
①在点C1(2,0)，C2(1,2)，C3(12,0)中，点___________是弦AB的“α可及点”，其中α=____________°；
②若点D是弦AB的“90°可及点”，则点D的横坐标的最大值为__________；
（2）已知P是直线y=√3x-√3上一点，且存在⊙O弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记点P的横坐标为t，直接写出t的取值范围．
（1）①由对称性（相对运动）：点C是“α可及点”⟺C关于直线AB的对称点C^′在⊙O上或内部，且∠ACB=α。
直线AB：x+y=1。
C₁(2,0)的对称点(1,−1)，到原点距离√2>1，在圆外，不符合；
C₂(1,2)的对称点(−1,0)，恰在⊙O上，符合；
C₃(1/2,0)的对称点(1,1/2)，到原点距离√5/2>1，不符合。
∴C₂是“α可及点”。∠AC₂B：C₂A=(−1,−1)，C₂B=(0,−2)，cos∠AC₂B=0+2/√2·2=√2/2，
∴α=45°。
②若∠ADB=90°，则D在以AB为直径的圆上（AB中点H(1/2,1/2)，半径√2/2，不含A、B）。
设D=H+(√2/2)(cosθ, sinθ)。D 到直线 AB 的带符号距离s=(cosθ+sinθ)/2，
对称点D^′满足|D^′|²=|D|²−2√2·s=1/2−√2(cosθ+sinθ)/2·√2=1/2−(cosθ+sinθ)·(√2/2)·√2……
（化简得|D^′|²=1/2−√2·s，s=(cosθ+sinθ)/2）
需|D^′|≤1：1/2−√2s≤1，∴s≥−√2/4，即cos(θ−45°)≥−1/2，∴θ∈[−75°,165°]。
Dₓ=1/2+(√2/2)cosθ在θ=0时最大（0∈[−75°,165°]），最大值=1/2+√2/2=(1+√2)/2。
（2）反过来思考：作弦MN所在直线ℓ，P 是“60°可及点”⟺P^′（P 关于 ℓ 的对称点）在⊙O上或内部，且∠MPN=60°。
设O到ℓ的距离为d（d<1），半弦长h=√(1−d²)。
∠MPN=60°⟺P在以MN为弦、对MN张角 60°的圆上，该圆半径R₃=MN/√3=2h/√3，圆心H在MN中垂线上、与P分居ℓ两侧，到ℓ距离h/√3。
P^′在⊙O内部⟺P在⊙O关于ℓ的对称圆圆心O^′（O^′关于ℓ与O对称，OO^′=2d）半径 1 的圆内。
临界分析：当弦MN逐渐变长（d→0）时，R₃最大为2/√3，此时P 到 O 的最大距离为2/√3；
结合P^′须落在⊙O内，得|P|≤2/√3（P^′ 恰在 ⊙O 上时临界）。
∴P 必须满足：|P−S|≥0……P 在直线y=√3x−√3上，|P|²=t²+3(t−1)²。
下界：P 最远只能在⊙O上与直线交点S(1/2, −√3/2)处（t=1/2，此时P 在 ⊙O 上为临界）；
上界：|P|=2/√3，即4t²−6t+3=4/3，12t²−18t+5=0，
解得t=(9±√21)/12，结合P 的位置取t=(9+√21)/12。
∴t的取值范围是1/2≤t≤(9+√21)/12。
167.在平面直角坐标系xOy中，对于点A和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在两个不同的点M，N，对于⊙C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，则称点A是⊙C的关联点，称∠MAN的大小为点A与⊙C的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
（1）如图，⊙O的半径为1．
①在点A1(12,0)，A2(43,0)，A3(2,0)中，点_______是⊙O的关联点且其与⊙O的关联角度小于90°，该点与⊙O的关联角度为_______°；
②点B(1,m)在第一象限，若对于任意长度小于1的线段BD，BD上所有的点都是⊙O的关联点，则m的最小值为_______；
（2）已知点E(1,3),F(4,3),T(t,0)，⊙T经过原点，线段EF上所有的点都是⊙T的关联点，记这些点与⊙T的关联角度的最大值为α．若90°≤α≤180°，直接写出t的取值范围．
先由定义梳理“关联点”与“关联角度”（设⊙C半径为r，点A到圆心C的距离为d）：
①A在⊙C内（d<r）：取过A的弦的两端点为M、N，∠MAN=180°（平角），对任意P、Q都有∠PAQ≤180°成立，∴是关联点，关联角度为180°；
②A在⊙C上：不符合定义要求，不是关联点；
③A在⊙C外（d>r）：圆上任意两点P、Q都在从A看圆的两条切线所成的角内，∴当M、N取两切点时∠MAN最大，关联角度=2arcsin(r/d)：d>√2r时为锐角，d=√2r时为直角，r<d<√2r时为钝角。
（1）①⊙O半径r=1，√2r=√2：
A₁(1/2,0)：d=1/2<1，在圆内，关联角度=180°，不小于90°；
A₂(4/3,0)：d=4/3，1<d<√2，关联角度为钝角（2arcsin(3/4)≈97°），大于90°；
A₃(2,0)：d=2>√2，关联角度=2arcsin(1/2)=60°，是锐角。
∴是关联点且关联角度小于90°的是A₃，关联角度为60°。
②“任意长度小于1的线段BD上所有的点都是关联点”⟺任何这样的线段BD上都不能有⊙O上的点。
若|OB|<2：取BD沿从B指向O的方向、长度介于|OB|−1与 1 之间（由|OB|<2知|OB|−1<1，这样的长度存在），
则线段BD必与⊙O相交，交点在圆上、不是关联点，不符合；
若|OB|≥2：线段BD上任意点X满足|OX|≥|OB|−|BD|>1，即BD上的点都在⊙O外，都是关联点，符合。
∴需|OB|≥2。B(1,m)：|OB|²=1+m²≥4，∴m≥√3（第一象限m>0），m的最小值为√3。
（2）T=(t,0)，⊙T过原点，半径r=|t|。
线段EF（E(1,3)，F(4,3)）上所有点都是关联点⟺EF与⊙T没有公共点（圆上的点不是关联点，圆内、圆外的点都是关联点），分两种情形：
情形一：EF全在⊙T外，此时α=2arcsin(r/dₘᵢₙ)（dₘᵢₙ为T到线段EF的最近距离），需r<dₘᵢₙ≤√2r（保证α≥90°）。
T到直线y=3的距离为 3，垂足为(t,3)：
当1≤t≤4时，dₘᵢₙ=3：需t<3且3≤√2t，∴3√2/2≤t<3；
当t<1时，dₘᵢₙ=|TE|=√((t−1)²+9)：dₘᵢₙ>|t|恒成立（因t<5）；dₘᵢₙ≤√2|t|⟺(t−1)²+9≤2t²⟺t²+2t−10≥0⟺t≤−1−√11（t<1）；
当t>4时，dₘᵢₙ=√((t−4)²+9)：dₘᵢₙ>t⟺t<25/8，与t>4矛盾，舍去。
情形二：EF全在⊙T内，此时各点关联角度均为180°，α=180°，只需|TE|<r且|TF|<r：
(t−1)²+9<t²且(t−4)²+9<t²，即t>5且t>25/8，∴t>5。
（EF与⊙T相交时，交点在圆上、不是关联点，不符合。）
综上，t的取值范围是t≤−1−√11 或 3√2/2≤t<3 或 t>5。
168.对于不共线的三点A，B，C，连接AB，AC，并作劣弧⌢BC，使得⌢BC所在圆的圆心在过点A且与BC平行的直线上，称由AB，AC和⌢BC组成的图形为单弧三角形，记作△A-⌢BC，其中⌢BC所在圆的圆心称为△A-⌢BC的弧心．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）如图1，点A(-2,-1)，B(-3,1)，C(1,1)，直接写出△A-⌢BC的弧心的坐标及⌢BC的长；
（2）如图2，点D(-2√3,2)，E(2,0)，当△D-⌢EF的弧心为O时，求点F的坐标；
（3）已知点M(1,0)，对于平面内的点N，存在点P，Q满足△P-⌢MN和△Q-⌢MN的弧心均为O，△PMN和△QMN都不是钝角三角形，且PQ=1，记N的横坐标为t，直接写出t的取值范围．
（1）B(−3,1)、C(1,1)，BC∥x轴，其中点为(−1,1)，BC 的垂直平分线为直线x=−1。
过A(−2,−1)且与 BC 平行的直线为y=−1。
∴弧心是两直线的交点O'(−1,−1)。
半径r=|O'B|=√((−3+1)²+(1+1)²)=√8=2√2。
O'B=(−2,2)，O'C=(2,2)，O'B·O'C=−4+4=0，∴∠BO'C=90°，
∴弧弧BC的长=(90/360)×2π×2√2=√2π。
（2）∵弧心 O 在过 D 且与 EF 平行的直线上，∴OD∥EF。
D(−2√3,2)，|OD|=√(12+4)=4，方向(−√3/2, 1/2)。
∴设F=E+λ(−√3/2, 1/2)=(2−(√3/2)λ, λ/2)。
由弧心为 O 知|OF|=|OE|=2：
(2−(√3/2)λ)²+(λ/2)²=4，展开得4−2√3λ+λ²=4，∴λ(λ−2√3)=0。
λ=0时 F 与 E 重合，舍去；∴λ=2√3，F=(2−3, √3)=(−1,√3)。
（3）∵△P−MN与△Q−MN的弧心均为 O，∴ M、N 在以 O 为圆心的圆上。
又M(1,0)，|OM|=1，∴该圆是单位圆，N在单位圆上。
单位圆的弦 MN 的垂直平分线过 O，而弧心 O 在过 P（或 Q）且与 MN 平行的直线上，
∴P、Q 都在过 O 且平行于 MN 的直线 g 上。
设N(cos2β, sin2β)（0<2β<180°，按劣弧对称性不妨取上半圆），则 M、N 关于方向(cosβ, sinβ)对称，
弦 MN 的中点为cosβ(cosβ, sinβ)，直线 g（过 O 平行于 MN）的方向向量为(−sinβ, cosβ)。
以(cosβ, sinβ)、(−sinβ, cosβ)为基：M=cosβ·u−sinβ·v，N=cosβ·u+sinβ·v，
P、Q 在 g 上，可设P=s·v，Q=s'·v。
计算得：∠MPN 处PM·PN=cos2β+s²；∠PMN 处MP·MN=2sinβ(sinβ+s)；∠PNM 处NP·NM=2sinβ(sinβ−s)。
∴△PMN不是钝角三角形⟺−sinβ≤s≤sinβ且s²≥−cos2β；同理对s'。
①当β≤45°时，−cos2β≤0，条件即−sinβ≤s≤sinβ，该区间长度2sinβ。
要存在|s−s'|=1，需2sinβ≥1，即β≥30°。∴30°≤β≤45°，此时t=cos2β∈[0, 1/2]。
②当β>45°时，条件为s∈[−sinβ,−w]∪[w, sinβ]，其中w=√(−cos2β)=√(2sin²β−1)。
同段内最大距离sinβ−w<1，∴s、s'须分居两段，|s−s'|的范围是[2w, 2sinβ]，
要包含 1，需2w≤1，即2sin²β−1≤1/4，sin²β≤5/8。
∴此时t=cos2β=1−2sin²β∈[−1/4, 0)。
综上，t的取值范围是−1/4≤t≤1/2。
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