(1) 求 AG
　∵ ABCD 是平行四边形，∴ AB = CD = 16，AD = BC = 20。
　在 Rt△ABC 中：AC = √(BC² − AB²) = √(400 − 256) = 12。

　∵ G 是 EC 的中点且 ∠EAC = 90°，∴ AG = EG = GC = 12EC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
　∴ ∠EAG = ∠AEG。

　∵ AH ⊥ BC，∴ ∠BAH = ∠BCA（同角的余角相等）。又 G 在 AH 上，∴ ∠EAG = ∠BCA，于是 ∠AEG = ∠BCA。
　在 △BEC 中，∠BEC = 180° − ∠AEG = 180° − ∠BCA，
　由 ∠B + ∠BCE + ∠BEC = 180° 得 ∠B = ∠ACE，
　∴ △ACE ∽ △ABC（∠CAE = ∠BAC = 90°，∠ACE = ∠ABC）。

　∴ AEAC = ACAB，即 AE12 = 1216，解得 AE = 9。
　在 Rt△AEC 中：EC = √(9² + 12²) = 15，
　∴ AG = 12EC = 152。

(2) 结论：BC = AG + FG
　辅助线：过 G 作 GK ⊥ AB 于 K，GN ⊥ AC 于 N。设 AC = b，AB = c，BC = a，则 a² = b² + c²。
　∵ AE = AC = b 且 ∠BAC = 90°，∴ △AEC 是等腰直角三角形，∠AEC = ∠ACE = 45°。

第(2)问辅助线：过 G 作 GK ⊥ AB、GN ⊥ AC

　第一步（核心等式 GN + GK = AE）：
　∵ GK ⊥ AB，AC ⊥ AB，∴ GK ∥ AC；又 GN ⊥ AC，AE ⊥ AC，∴ GN ∥ AE。
　∵ C、G、E 三点共线，由平行线分线段成比例：GNAE = CGCE，GKAC = EGCE。
　两式相加：GNAE + GKAC = CG + EGCE = 1，又 AE = AC = b，故 GN + GK = b = AE。

　第二步（用相似表示 GN、GK）：G 在 AH 上，∠KAG = ∠BCA，∠NAG = ∠B。
　△AKG ∽ △CAB：AKCA = GKAB = AGCB → GK = AG·ca；
　△AGN ∽ △BAC：ANBA = GNAC = AGBC → GN = AG·ba。
　代入 GN + GK = b：AG(b+c)a = b → AG = abb+c …… ③

　第三步（求 FG）：∵ CD ∥ AB 且 CD = AB = c，又 DF ∥ CE，∴ 四边形 DFCE 是平行四边形，FE = CD = c。
　F 在 BA 的延长线上，故 AF = FE − AE = c − b，
　FK = FA + AK = (c − b) + b²b+c = c²b+c，GK = bcb+c。
　Rt△FGK 中 GKFK = bc = ACAB 且 ∠FKG = ∠BAC = 90°，
　∴ △FGK ∽ △ACB，FGBC = FKAB → FG = acb+c …… ④

　第四步（合并）：AG + FG = abb+c + acb+c = a(b+c)b+c = a = BC。
　即 BC = AG + FG。证毕。

(1) 证明
　① ∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点，∴ DE ∥ BC，DE = 12BC（三角形中位线定理）。
　② ∵ F 在 BC 上，G 在 DE 的延长线上，∴ DG ∥ FC。
　③ 又 DG = FC，∴ 四边形 DFCG 是平行四边形（一组对边平行且相等）。
　④ ∵ DF ⊥ BC，∴ ∠DFC = 90°，故 DFCG 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。

(2) 求 BC、AC
　步骤一：由(1)知 DFCG 是矩形，∴ DF = GC = 3，FC = DG = 5。
　在 Rt△BDF 中，∠B = 45°，tan∠B = DFBF → BF = 3 ÷ 1 = 3（即等腰直角三角形）。

　步骤二：BC = BF + FC = 3 + 5 = 8。

　步骤三：由中位线定理 DE = 12BC = 4，故 EG = DG − DE = 5 − 4 = 1。

　步骤四：在 Rt△EGC 中（∠EGC = 90°）：EC = √(EG² + GC²) = √(1 + 9) = √10。
　∵ E 是 AC 的中点，∴ AC = 2EC = 2√10。

　【验算】AB = 2DB = 2√(3²+3²) = 6√2；
　由余弦定理 AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos45° = 72 + 64 − 96 = 40 ✔。

① 由 DE ∥ BC 得 ED ∥ FC（F、C 都在 BC 上）；由 EF ∥ AC 得 EF ∥ DC（D、C 都在 AC 上）。两组对边分别平行，所以四边形 EFCD 一定是平行四边形。① 正确。

② 由平行四边形得 ED = FC。因为 DE ∥ BC，所以 ∠EDB = ∠DBC；又 BD 平分 ∠ABC，所以 ∠EBD = ∠DBC，于是 ∠EBD = ∠EDB，得 EB = ED。

设 AB = c，则 EB = ED = FC = d，AE = c − d。由 DE ∥ BC 得 △AED ∽ △ABC，所以 AEAB = EDBC，即 c − dc = d3，解得 d = 3cc + 3。

于是 FC = 3cc + 3，BF = 3 − d = 9c + 3。令 BF = FC 得 9 = 3c，即 AB = 3。也就是说，只要把 AB 取成 3，就能使 BF = FC，与 ∠ABC 的大小无关。② 正确。

③ 由上一问知 BF = FC ⟺ AB = 3，与角的大小无关。所以固定 AB 只改变 ∠ABC，并不能使 BF = FC 成立。③ 错误。

(1) 假命题。反例：等腰梯形 ABCD（AD ∥ BC，AB = DC，但 AB 与 DC 不平行）。它满足"一组对边平行（AD ∥ BC）、一组对边相等（AB = DC）"，但它不是平行四边形。

(2) 真命题。已知：△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，且 AD 平分 ∠BAC。求证：AB = AC。

证明：延长 AD 到点 E，使 DE = AD，连接 BE。

因为 BD = DC（中线），AD = DE（作图），所以四边形 ABEC 的两条对角线互相平分，四边形 ABEC 是平行四边形。

所以 BE = AC，且 BE ∥ AC。

由 BE ∥ AC 得 ∠BED = ∠CAD（内错角）；又 AD 平分 ∠BAC，得 ∠BAD = ∠CAD。所以 ∠BAD = ∠BED，可得 AB = BE（等角对等边）。

所以 AB = BE = AC，即 △ABC 是等腰三角形。

① 由图 2：0→10s 走完第 1 个 50m，10→20s 折返；20→35s 走完第 3 个 50m，35→50s 折返。
　全程 200m，共用 50s → A 正确。

② 第 1 个 50m 用时 10s，平均速度 5 m/s；最后 50m 用时 15s，平均速度 103 m/s → B 正确。

③ 前 5s 匀速，路程 = 5 × 5 = 25 m。
　后半段图象是过 (20, 0)、(50, 0)、顶点 (35, 50) 的抛物线：
　y = 29(t − 20)(50 − t)。
　最后 5s（45→50s）路程 = y(45) − y(50) = 2509 ≈ 27.8 m > 25 m。

　所以“前 5s 路程大于最后 5s 路程”是错的 → C 错误。

④ 最后 50m 的速度 |y′| = 29|70 − 2t|：t = 45 时为 409，t = 50 时为 609，越来越快 → D 正确。

(1) 把表中数据作为点的坐标：S₁ 取 (0, 0)、(10, 3)、(20, 7)、(40, 15)、(60, 23)、(80, 31)、(100, 39)；S₂ 取 (0, 0)、(10, 2)、(20, 4)、(40, 9)、(60, 15)、(80, 22)、(100, 30)。在坐标系中描出这些点，再用平滑曲线依次连接即可。

观察图象：S₁ 大致是一条过原点的直线（电量每增加 20%，可多行驶约 8 km）；S₂ 是一条越来越陡的曲线（电量越少时，同样多的电量能行驶的路程越短）。

① 读取图象：P = 50% 时，S₁ ≈ 19 km，S₂ ≈ 12 km，多行驶 19 − 12 ≈ 7 km（由图象读数不同可得 7.0~7.1，答案不唯一）。

② 载重行驶（带着小明）需要走完 8 km。由 S₂ 的图象，P = 30% 时 S₂ ≈ 6.5 km < 8 km，即在电量耗尽前到不了幼儿园。所以填"不能"。

③ 电量要分两段用：先用载重行驶走 8 km（家 → 幼儿园），再用独自行驶走 3 km（幼儿园 → 单位）。

由 S₂ 的图象，S₂ = 8 km 对应的剩余电量占比约为 36%（≈ 20% + 8 − 49 − 4 × 20%）；由 S₁ 的图象（表中 P = 10% 时 S₁ = 3），独自行驶 3 km 约需 10% 的电量。

所以出门时剩余电量占比至少为 36% + 10% = 46%。

(1) 由折线图读出甲的成绩：12.9，12.1，12.5，12.7，12.1，12.5，12.7，12.5，12.5，12.5。
　从小到大排列：12.1，12.1，12.5，12.5，12.5，12.5，12.5，12.7，12.7，12.9，
　中位数 = (第5个 + 第6个2) = 12.5 + 12.52 = 12.5。
　（另可验证平均数：(12.9 + 12.1 + 12.5 + 12.7 + 12.1 + 12.5 + 12.7 + 12.5 × 3) ÷ 10 = 12.5 ✔）

(2) 由折线图读出乙的成绩（与 12.5 的差）：12.6(+0.1)、12.6(+0.1)、12.3(−0.2)、12.5(0)、12.5(0)、12.7(+0.2)、12.5(0)、12.7(+0.2)、12.4(−0.1)、12.2(−0.3)。
　平均数为 12.5；方差 = (0.01 + 0.01 + 0.04 + 0 + 0 + 0.04 + 0 + 0.04 + 0.01 + 0.09) ÷ 10 = 0.24 ÷ 10 = 0.024。
　∵ 0.024 < 0.056，∴ n < 0.056。

(3) 顺便算出丙的平均数：p = (12.4 × 2 + 12.5 + 12.7 + 12.8 × 4 + 12.9 × 2) ÷ 10 = 12.7（方差 0.034 与表中一致）。

　按规则比较：
　① 平均数：甲 = 乙 = 丁 = 12.5 < 丙 = 12.7，故 丙最弱；
　② 甲、乙、丁方差：乙 0.024 < 甲 = 丁 = 0.056，故 乙最强；
　③ 甲与丁的平均数、方差都相同，比“成绩小于平均数的次数”：
　　· 甲小于 12.5 的成绩有 12.1、12.1，共 2 次；
　　· 丁的中位数 12.45 < 平均数 12.5，说明排序后第 5、第 6 个数据的平均值为 12.45，
　　　故至少前 5 个数据都 ≤ 12.4 < 12.5，即丁“小于平均数的次数”至少 5 次 > 2 次。
　∴ 丁强于甲。
　综合得：乙、丁、甲、丙。

（1）小明一人完成 A 和 B：36 分钟。

A 的第二阶段由机器完成，不占用小明的时间，小明要做的是 A 的第一阶段（5 分）、B 的第一阶段（15 分）、B 的第二阶段（16 分），共 36 分钟，所以不可能少于 36 分钟。

安排：0~5 分小明做 A 的第一阶段（同时 5~25 分机器自动完成 A 的第二阶段）；5~20 分小明做 B 的第一阶段；20~36 分小明做 B 的第二阶段。总计 36 分钟。

（2）两人合作完成四项家务：34 分钟。

把小明、哥哥分别记为甲、乙，一个可行安排是：
甲：C 的第一阶段 0~3 分（机器接着 3~33 分完成 C 的第二阶段）→ B 的第一阶段 3~18 分 → D 的第二阶段 18~33 分；
乙：A 的第一阶段 0~5 分（机器接着 5~25 分完成 A 的第二阶段）→ D 的第一阶段 5~17 分 → B 的第二阶段 18~34 分。
所有家务最晚在 34 分钟完成。

为什么不能再短（33 分钟做不到）：四项家务需要人工完成的时长共 5 + 15 + 16 + 3 + 12 + 15 = 66 分钟，两人平均每人 33 分钟；并且 C 的第一阶段加第二阶段共 33 分钟，所以 C 的第一阶段必须在 0 时刻就开始，总用时才有可能等于 33 分钟。

此时两人都必须从头到尾不停歇：做 C 的第一阶段的人（用掉 3 分钟）之后只剩 30 分钟，只能做B 的第一阶段（15）与 D 的第二阶段（15）；另一人做 A 的第一阶段（5）、D 的第一阶段（12）、B 的第二阶段（16），恰好 33 分钟。

但 B 的第二阶段必须在 B 的第一阶段之后：B 的第一阶段由前者做完 C 的第一阶段后才能动手，最早 3~18 分钟完成；而另一人做 A 的第一阶段（0~5）和 D 的第一阶段（5~17）后，最早 18 分钟才能开始B 的第二阶段，要一直到 34 分钟才结束，与"33 分钟"矛盾。所以最少是 34 分钟。

① 配方：y = a(x² − 4x + 3) = a(x − 2)² − a，对称轴 x = 2，落在区间 [1, 4] 内。

② 当 a > 0：开口向上，最大值在离对称轴较远的端点取到。|1 − 2| = 1 < |4 − 2| = 2，故最大值 = f(4) = 3a = 4，得 a = 43。

③ 当 a < 0：开口向下，最大值在顶点取到，f(2) = −a = 4，得 a = −4。

综上：a = 43 或 a = −4。

① 点 P 在抛物线上 → b = −a² + 2a − 1。

② a + b = a + (−a² + 2a − 1) = −a² + 3a − 1 = −(a − 32)² + 54。

③ 当 a = 32 时取最大值 54。

① 点 A 在直线上：n = 2m + 3。

② 点 B 在抛物线上：n = m² − 4m + k，即 k = n − m² + 4m。

③ 把①代入消去 n：k = (2m + 3) − m² + 4m = −m² + 6m + 3 = −(m − 3)² + 12 ≤ 12。

故 k ≤ 12（m = 3 时取到等号）。

(1) y = a(x − 1)² + (3 − a)，顶点为 (1, 3 − a)。

(2) ① Δ = 4a² − 12a = 4a(a − 3) ≥ 0 → a ≤ 0 或 a ≥ 3；又 a ≠ 0，故 a < 0 或 a ≥ 3。

② 需两个不同公共点，故只用 a < 0 或 a > 3（a = 3 时 Δ = 0，舍去）。两根为 x = 1 ± √(a − 3a)。

当 a > 3：a − 3a ∈ (0, 1)，两根都落在 (0, 2) 内，自然满足 −1 < x₁ < x₂ < 4。

当 a < 0：
　1 − √(a − 3a) > −1 ⟺ a − 3a < 4 ⟺ a − 3 > 4a（两边乘 a < 0 要变号）⟺ a < −1；
　1 + √(a − 3a) < 4 ⟺ a − 3a < 9 ⟺ a > −38，对 a < −1 恒成立。

综上②：a < −1 或 a > 3。

【可替代的快法】两根都在 (−1, 4) 内 ⟺ a·f(−1) > 0、a·f(4) > 0、顶点在区间内。
　f(−1) = 3a + 3，f(4) = 8a + 3。
　a > 0 时需 8a + 3 > 0（恒成立）→ a > 3；
　a < 0 时需 a(3a + 3) > 0 且 a(8a + 3) > 0 → a < −1。

(1) a = 1 时 y = x² − 2x。m = f(−1) = 3，n = f(3) = 3，所以 m = n。
（理由：−1 与 3 关于对称轴 x = 1 对称。）

(2) y = ax(x − 2a)，与 x 轴交于 x = 0 与 x = 2a，
CD = |2a| > 4 → |a| > 2 → a < −2 或 a > 2。

(3) 对称轴 x = a。a > 0 且在 [−1, 3] 上递减 ⟹ 3 ≤ a（这是隐藏条件）。

此时最大值 f(−1) = a + 2a²，最小值 f(3) = 9a − 6a²，
h = (2a² + a) − (9a − 6a²) = 8a² − 8a = 8(a − 12)² − 2。

在 a ≥ 3 上 h 随 a 增大而增大，故 a = 3 时 h 最小 = 8 × 9 − 24 = 48。

对称轴 x = t，顶点 (t, 3 − t²)。

(1) 代入 (2, 1)：4 − 4t + 3 = 1 → t = 32。

(2) ① 0 ≤ t ≤ 3 时最小值为 f(t) = 3 − t² = −2 → t = √5（在范围内，保留）；
② t > 3 时最小值为 f(3) = 12 − 6t = −2 → t = 73 < 3（舍）。
故 t = √5。

(3) A、C 纵坐标相同 → 关于对称轴对称 → t = [(m − 2) + m] ÷ 2 = m − 1。
B 在对称轴右侧 → 4 > t → m < 5。

a = f(t − 1) = 4 − t²，b = f(4) = 19 − 8t。

a < b：4 − t² < 19 − 8t → t² − 8t + 15 > 0 → t < 3 或 t > 5；
b < 3：19 − 8t < 3 → t > 2。

结合 t > 0 与 t < 4（B 在对称轴右侧），得 2 < t < 3，
故 m = t + 1 ∈ (3, 4)。

(1) 配方：y = a(x² − 6x) + 3 = a(x − 3)² + 3 − 9a，
　对称轴 x = 3，故 m = 3。
　a > 0 开口向上，在对称轴右侧递增，故 x > 3 时 y 随 x 增大而增大。

(2) 向右平移 2 个单位：y = a(x − 5)² + 3 − 9a，对称轴 x = 5 落在 [1, 6] 内。
　a > 0 时最小值在顶点取到：3 − 9a = −4 → a = 79。
　新抛物线：y = 79(x − 5)² − 4。

(3) 令 y = 0：a(x − 3)² = 9a − 3，即 (x − 3)² = 9 − 3a（需 9 − 3a > 0）。
　|x₁ − x₂| = 2√(9 − 3a)。

　由 2 < 2√(9 − 3a) < 4√2 得 1 < 9 − 3a < 8：
　右边：9 − 3a < 8 ⟺ 3a > 1 ⟺ 0 < a < 3；
　左边：9 − 3a > 1 ⟺ 3a < 8 ⟺ a > 38。
　故 38 < a < 3，整数 a = 1、2。

【验证】a = 1：|x₁ − x₂| = 2√6 ≈ 4.90 ∈ (2, 5.66) ✔；a = 2：2√7.5 ≈ 5.48 ✔；a = 3：2√8 ≈ 5.66 = 4√2（取不到）✘。

(1) y = a(x − 3)² + 27 − 9a，对称轴 x = 3，m = 3。
　a > 0 开口向上，x > 3 时 y 随 x 的增大而增大。

(2) 向右平移 2 个单位：y = a(x − 5)² + 27 − 9a，对称轴 x = 5 ∈ [1, 6]。
　最小值 = 27 − 9a = 6 → a = 73。
　新函数：y = 73(x − 5)² + 6。

(3) 令 y = 0：(x − 3)² = 9 − 27a（需 9 − 27a > 0）。
　|x₁ − x₂| = 2√(9 − 27a) < 4 ⟺ 9 − 27a < 4 ⟺ 27a > 5。

　由 9 − 27a > 0 且 27a > 5 知 a > 0，于是 3 < a < 275 = 5.4。
　整数 a = 4 或 5。

【验证】a = 3：Δ = 0，与 x 轴只有一个交点，不满足“两个交点”✘；a = 4：|x₁ − x₂| = 2√2.25 = 3 ✔；a = 5：2√3.6 ≈ 3.79 ✔；a = 6：2√4.5 ≈ 4.24 > 4 ✘。

y₂ − y₁ = a(x₂² − x₁²) = a(x₂ − x₁)(x₂ + x₁)。因为 x₂ − x₁ = 1，所以 y₂ − y₁ = a(x₁ + x₂)。

又 x₂ = x₁ + 1，所以 x₁ + x₂ = 2x₁ + 1 ≥ 1（x₁ ≥ 0 时取到最小值 1，此时 x₁ = 0）。

因此 |y₂ − y₁| = |a|·(2x₁ + 1) ≥ |a|。题目要求对任意 0 ≤ x₁ < x₂ 都成立，只需最小值 |a| ≥ 1 即可，即 a ≥ 1 或 a ≤ −1。

(1) 抛物线与 y 轴交于点 A，把 x = 0 代入得 y = 3，所以 A(0, 3)。

把 x = 5 代入抛物线，得 a = 25 − 20 + 3 = 8，所以 B(5, 8)。

设直线 l：y = kx + b。代入 A(0, 3) 得 b = 3；代入 B(5, 8) 得 5k + 3 = 8，k = 1。所以直线 l 的表达式为 y = x + 3。

(2) 因为 MN ⊥ x 轴，M、N 的横坐标相同，所以 M(m, m² − 4m + 3)，N(m, m + 3)。

MN = (m + 3) − (m² − 4m + 3) = −m² + 5m = −(m − 52)² + 254。

因为 0 < m < 5，且 52 在这个范围内，所以当 m = 52 时 MN 取得最大值 254（即 6.25）。

即线段 MN 的长有最大值，最大值为 254。

参考图：当 m = 2 时 M(2, −1)、N(2, 5)，此时 MN = 6（不是最大值）

① 先验判别式：Δ = 4k² − 4(k² − 2k + 3) = 8k − 12 ≥ 0 → k ≥ 32。

② 由韦达定理：x₁ + x₂ = 2k，x₁x₂ = k² − 2k + 3。

③ 1x₁ + 1x₂ = x₁ + x₂x₁x₂ = 2kk² − 2k + 3 = 1。

④ 整理：k² − 4k + 3 = 0 → k = 1 或 k = 3。由①舍去 k = 1，故 k = 3。

【韦达定理常用变形备查】

① 由 x = 0 得 c = 6。取 (−1, 4)、(1, 6)：a − b + 6 = 4，a + b + 6 = 6 → a = −1，b = 1。

② 解析式为 y = −x² + x + 6。验证 (−2, 0)：−4 − 2 + 6 = 0 ✔

③ a = −1 < 0，开口向下 ✔（① 正确）；
　对称轴 x = −b2a = 12 ✔（② 正确）。

④ 令 y = 0：x² − x − 6 = 0 → x = 3 或 −2。
　另一交点是 (3, 0) 而不是 (2, 0) ✘（③ 错误）。

⑤ 最大值 = f(12) = −14 + 12 + 6 = 254 ✔（④ 正确）。

故正确的是 ①②④。

① 线段 AB：y = 2，−4 ≤ x ≤ −2。

② 联立 ax² = 2 → x² = 2/a → x = ±√(2/a)。只有负根 −√(2/a) 可能落在线段上。

③ 无交点即 −√(2/a) 不在 [−4, −2] 内：
　−√(2/a) < −4 → √(2/a) > 4 → a < 18；
　或 −√(2/a) > −2 → √(2/a) < 2 → a > 12。

④ 端点检验：a = 18 时抛物线过点 B(−4, 2)，a = 12 时过点 A(−2, 2)，都要舍去。

故 0 < a < 18 或 a > 12。

① Γ₁ 的对称轴为 x = t；Γ₂ 的对称轴为 x = t + 2。平移不改变形状，故
　y₃ = f₂(x₃) = f₁(x₃ − 2)。

(1) t = 2：y₁ = f₁(1)，y₃ = f₁(5 − 2) = f₁(3)。
　1 与 3 关于对称轴 x = 2 对称 → y₁ = y₃。

(2) 记 x = x₃ − 2 ∈ (6, 7)，要求对区间内每一个 x 都有 f₁(t2) < f₁(x) < f₁(2t)。

即要求 f₁(t2) 小于区间上的最小值，且 f₁(2t) 大于区间上的最大值。
因 a > 0，比较函数值 ⇔ 比较“到对称轴 x = t 的距离”。

① t ≤ 6：f₁ 在 [6, 7] 上递增，最小值 f₁(6)、最大值 f₁(7)。
　|t2 − t| < 6 − t → t < 4；|7 − t| < |2t − t| → t > 72。
　得 72 < t < 4（与 t ≤ 6 相容）。

② 6 < t < 7：区间最小值在顶点取到为 f₁(t)，但 |t2 − t| = t2 > 0 = |t − t|，不可能，无解。

③ t ≥ 7：f₁ 在 [6, 7] 上递减，最小值 f₁(7)、最大值 f₁(6)。
　|t2 − t| < t − 7 → t > 14；|t − 6| < t 恒成立。
　得 t > 14。

综上：72 < t < 4 或 t > 14。

核心工具：开口向上时，f(p) < f(q) ⟺ p 到对称轴的距离小于 q 到对称轴的距离。

(1) m = n → 点 (1, m) 与 (3, n) 关于对称轴对称 → t = 1 + 32 = 2。
与 y 轴交点即 (0, c) = (0, 2)。

(2) ① m < n：|1 − t| < |3 − t| → 1 − 2t + t² < 9 − 6t + t² → t < 2。
② n < c：f(3) < f(0) → |3 − t| < |0 − t| → 9 − 6t < 0 → t > 32。
所以 32 < t < 2。

③ (x₀, m) 与 (1, m) 纵坐标相同 → 关于对称轴对称 → x₀ = 2t − 1。
由 32 < t < 2 得 2 < x₀ < 3。

(1) Δ = [−3(m − 1)]² − 4m(2m − 3) = 9(m − 1)² − 8m² + 12m = m² − 6m + 9 = (m − 3)²。

方程有两个不相等的实数根，需要 Δ > 0 且二次项系数不为 0，即 (m − 3)² > 0 且 m ≠ 0，所以 m ≠ 0 且 m ≠ 3。

(2) 把原方程按 m 整理：m(x² − 3x + 2) + (3x − 3) = 0。

要使某个 x 对一切非零 m 都是方程的根，只需 x² − 3x + 2 = 0 且 3x − 3 = 0 同时成立。

由 3x − 3 = 0 得 x = 1；代入 x² − 3x + 2 = 1 − 3 + 2 = 0，成立。

验证：把 x = 1 代入原方程左边，得 m − 3(m − 1) + 2m − 3 = m − 3m + 3 + 2m − 3 = 0。所以无论 m 为何非零实数，x = 1 总是方程的根。

(1) 在 △ABP 中由正弦定理：PA ÷ sin∠ABP = PB ÷ sin∠PAB。

代入 PB = √2PA、∠ABP = 30°：
　sin∠PAB = PBPA · sin30° = √2 × 12 = √22 → ∠PAB = 45° 或 135°。

因 P 在三角形内，∠PAB < ∠BAC = 90°，故 ∠PAB = 45°。

(2) 结论：α + β = 45°。

证明：将 △APB 绕点 A 旋转 90°，使 B 与 C 重合，P 转到 P′。则 △APB ≌ △AP′C，得

　AP′ = AP，P′C = PB = √2PA，∠AP′C = ∠APB；
　又 △APP′ 为等腰直角三角形 → PP′ = √2PA，∠AP′P = ∠APP′ = 45°。

所以 PP′ = P′C，△PP′C 是等腰三角形。设 ∠CP′P = θ（即 ∠PP′C），
　则 ∠P′PC = ∠PCP′ = 180° − θ2 = 90° − θ2。

由图形位置关系（P′C 落在 ∠AP′P 内部）：
　∠APB = ∠AP′C = ∠AP′P − ∠CP′P = 45° − θ。

又在点 P 处（射线 P′P 在 ∠APC 外侧）：
　∠P′PC = ∠P′PA + ∠APC = 45° + α。
　于是 90° − θ2 = 45° + α → α = 45° − θ2。

又 B 落在 ∠APC 内部，所以
　β = ∠BPC = ∠APC − ∠APB = α − (45° − θ) = (45° − θ2) − 45° + θ = θ2。

所以 α + β = (45° − θ2) + θ2 = 45°，即 α + β = 45°。

(1) 证明 BF = AC
　∵ ∠ACB = 90°，∠ABC = α = 45°，∴ ∠BAC = 180° − 90° − 45° = 45° = ∠ABC。
　∵ D 与 C 重合，AD 绕 A 逆时针旋转 180° − 2 × 45° = 90° 得 AE，
　∴ AE = AD = AC，∠CAE = 90°。

　∴ ∠EAB = ∠CAE − ∠BAC = 90° − 45° = 45° = ∠ABC，
　∴ AE ∥ BC（内错角相等，两直线平行）。
　又 EF ∥ AB，故四边形 ABFE 是平行四边形，
　∴ BF = AE = AC。证毕。

(2) 结论：DF = 2BC
　辅助线：在 DB 上取一点 G，使 AG = AB，连接 BE。

第(2)问辅助线：在 DB 上取 G 使 AG = AB，连接 BE

　∵ AG = AB，∴ ∠AGB = ∠ABG = α，∠BAG = 180° − 2α。
　∵ 旋转得 AD = AE，∠DAE = 180° − 2α，∴ ∠DAE = ∠GAB，
　两边同减 ∠GAE 得 ∠DAG = ∠EAB。

　在 △DAG 和 △EAB 中：AD = AE，∠DAG = ∠EAB，AG = AB，
　∴ △DAG ≌ △EAB（SAS），∴ DG = BE，∠AGD = ∠ABE。

　∵ ∠AGD = 180° − ∠AGB = 180° − α，∴ ∠ABE = 180° − α，
　∴ ∠FBE = ∠ABE − ∠ABC = (180° − α) − α = 180° − 2α。
　∵ EF ∥ AB，∴ ∠BFE = ∠ABF = α（内错角相等）。
　在 △BEF 中：∠BEF = 180° − (180° − 2α) − α = α = ∠BFE，
　∴ BE = BF，∴ DG = BF。

　∵ AG = AB 且 AC ⊥ BG，∴ BC = CG（等腰三角形“三线合一”），即 BG = 2BC。
　∴ DF = BD − BF = BD − DG = BG = 2BC。证毕。

平移的性质：平移线段 BD 使 B 移到 C，则 BD ∥ CE、BD = CE，且 BC ∥ DE、BC = DE，
　∴ 四边形 BCED 是平行四边形（B→C→E→D 四边依次相接）。
　记 ∠BAC = θ，由 AB = AC 得 ∠BCA = 180° − θ2 = 90° − θ2。

(1) 求证 ∠CBD 与 ∠CDE 互余
　① ∵ DE ∥ BC，DC 为截线，∴ ∠CDE = ∠BCD（内错角）。
　又 D 在边 AC 上，∴ ∠BCD = ∠BCA = 90° − θ2，即 ∠CDE = 90° − θ2。

　② 由 ① 得 D 处的三个角满足 ∠BDE = ∠BDC + ∠CDE（E 与 B 分居直线 AC 两侧）。
　∵ 平行四边形 BCED 中相邻内角互补，∴ ∠E + ∠BDE = 180°，
　∴ ∠E = 180° − ∠BDC − ∠CDE = 180° − ∠BDC − (90° − θ2)。
　又题设 ∠BAC = 2∠E，即 ∠E = θ2，代入得 ∠BDC = 90°，即 BD ⊥ AC。

　③ 在 Rt△BDC 中：∠CBD = 90° − ∠BCD = 90° − (90° − θ2) = θ2。
　∴ ∠CBD + ∠CDE = θ2 + 90° − θ2 = 90°，即两角互余。证毕。

(2) 结论：∠BAE = 2∠CBD
　记 ∠BAC = ∠CAE = θ（AC 平分 ∠BAE）。
　① 设平行四边形 BCED 的对角线 BE、CD 交于点 P。平行四边形的对角线互相平分，
　∴ P 是 BE 的中点，也是 CD 的中点；而 C、D 都在直线 AC 上，∴ P 在 AC 上，
　即 AP 就是 ∠BAE 的平分线。

　② 延长 AP 至 Q，使 PQ = PA。∵ P 同时是 AQ 和 BE 的中点，
　∴ 四边形 ABQE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
　∴ QE ∥ AB，QE = AB，从而 ∠AQE = ∠QAB（内错角）。
　∵ A、P、Q 共线且 P 在 AC 上，∴ ∠QAB = ∠BAP = θ，∠EAQ = ∠EAP = θ。
　∴ ∠AQE = θ = ∠EAQ，故 AE = QE = AB（等角对等边）。

　③ 于是 AE = AB = AC；又 ∠EAC = ∠BAC = θ，AC 为公共边，
　∴ △AEC ≌ △ABC（SAS），∴ CE = BC。
　又由平移知 CE = BD，∴ BD = BC，即 △BCD 是等腰三角形。

　④ 在 △BCD 中：∠BCD = ∠BCA = 90° − θ2，
　由 BD = BC 得 ∠BDC = ∠BCD = 90° − θ2，
　∴ ∠CBD = 180° − 2(90° − θ2) = θ。
　∴ ∠BAE = 2θ = 2∠CBD。证毕。

　【数值验证】取 ∠A = 40°，则 ∠CBD = 40°，∠BAE = 80° ✔（第(1)问条件下 ∠CBD = ∠A2，与此处 ∠CBD = ∠A 恰好互为“一半”的关系，注意区分两问的不同条件）。

(1) 当 α = 90° 时：在 Rt△ABC 中，∠CAB = 90°，BC = √(AB² + AC²) = √(1² + 2²) = √5，所以 BD = BC = √5。

过点 D 作 DG ⊥ 直线 AB，垂足 G 落在 AB 的延长线上。

因为 BD ⊥ BC，所以 ∠DBC = 90°，∠DBG = 180° − ∠ABD = 180° − (∠ABC + 90°) = 90° − ∠ABC，而在 Rt△ABC 中 ∠BCA = 90° − ∠ABC，所以 ∠DBG = ∠BCA。又 ∠DGB = ∠BAC = 90°，BD = BC，所以 △BDG ≌ △CBA（AAS）。

由全等得 DG = AB = 1，BG = AC = 2，于是 AG = AB + BG = 1 + 2 = 3。

在 Rt△ADG 中，AD = √(AG² + DG²) = √(3² + 1²) = √10。

(2) 数量关系：AB² + 4EF² = 2BC²。证明如下：

第一步：过点 C 作 CG ⊥ BC，且 CG = BC，取点 G 与点 A 在 BC 同侧。则 △BCG 是等腰直角三角形，所以 BG² = BC² + CG² = 2BC²，∠CBG = 45°。

第二步：证 E 是 DG 的中点。在 △DBE 与 △GCE 中：BD = CG（都等于 BC），∠DBE = ∠GCB = 90°（E 在 BC 上），BE = CE（E 是 BC 中点），所以 △DBE ≌ △GCE（SAS）。

于是 DE = GE，∠DEB = ∠GEC；又 ∠DEB 与 ∠GEC 是 BC 上的一对对顶位置关系，结合 DE = GE 可知 D、E、G 三点共线，所以 E 是 DG 的中点。

第三步：用中位线。已知 F 是 AD 的中点，又 E 是 DG 的中点，所以在 △DAG 中，EF 是连接两边中点的线段，即 EF 是 △DAG 的中位线，所以 EF = 12 AG，即 AG = 2EF。

第四步：证 ∠BAG = 90°。由 ∠CAB = 45°，∠CBG = 45°，可知点 A、C 对线段 BG 张的角相等且位于 BG 同侧，所以 A、B、C、G 四点共圆。又 ∠BCG = 90°，它所对的弦是 BG，所以 BG 是该圆的直径，于是 ∠BAG = 90°（直径所对的圆周角是直角）。

第五步：在 Rt△BAG 中，AB² + AG² = BG²。把 BG² = 2BC²、AG = 2EF 代入，得 AB² + 4EF² = 2BC²。

(1) 证明 ∠ADB = ∠AOP
　∵ PA、PB 是 ⊙O 的切线，∴ OA = OB，OA ⊥ PA，OB ⊥ PB。
　又 OP = OP，∴ Rt△OAP ≌ Rt△OBP（HL），
　∴ ∠AOP = ∠BOP，即 OP 平分 ∠AOB，∠AOB = 2∠AOP。

　∵ ∠ADB 是弧 AB 所对的圆周角，∠AOB 是弧 AB 所对的圆心角，
　∴ ∠ADB = 12∠AOB = ∠AOP。证毕。

(2) 求 DE
　设 ∠AOP = α，tanα = 12。在 Rt△OAP 中 tanα = APOA，且 AP = 10，
　∴ OA = 20，OP = √(20² + 10²) = 10√5。
　∵ C 是 Rt△OAP 斜边 OP 的中点，∴ AC = OC = 12OP（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
　∴ ∠OAC = ∠AOP = α；又 A、C、D 共线，∴ ∠OAD = α。

　在等腰 △OAB 中，OA = OB，顶角 ∠AOB = 2α，∴ 底角 ∠OAB = 180° − 2α2 = 90° − α。
　∴ ∠BAD = ∠OAB − ∠OAD = (90° − α) − α = 90° − 2α。
　在 △ABD 中：∠ABD = 180° − ∠ADB − ∠BAD = 180° − α − (90° − 2α) = 90° + α，
　∴ ∠ABE = 180° − ∠ABD = 90° − α。

　由切线长定理知 OP 是 AB 的垂直平分线，即 AB ⊥ OP。
　过 B 作 BH ⊥ OP 于 H，则 H 在 AB 上，∠BHE = 90°。
　在 Rt△BHE 中：∠BEO = 90° − ∠ABE = 90° − (90° − α) = α。
　在 △OBE 中：∠BOE = ∠BOP = α = ∠BEO，
　∴ △OBE 是等腰三角形，BE = BO = OA = 20。
　又 BH ⊥ OE 且 OB = BE，由“三线合一”知 H 是 OE 的中点。

　在 Rt△OBH 中，∠BOH = α，tanα = BHOH = 12。
　设 BH = k，OH = 2k，则 OB² = k² + 4k² = 5k² = 400，
　∴ k = 4√5，OH = 8√5，OE = 2OH = 16√5。

　由圆幂定理（割线定理）：点 E 在圆外，割线 EDB 交 ⊙O 于 D、B，
　∴ EB · ED = EO² − OB²。
　代入 EB = 20，EO = 16√5，OB = 20：20 · ED = 1280 − 400 = 880，
　∴ ED = 44。

① 设 A(0, a)、E(e, 0)，则 C(e, a)。B 为 AC 中点 → B(e2, a)。

② B 在 y = mx 上 → m = e2 · a = ae2。

③ D 在直线 EC（x = e）上，又 y_D = me = a2 → D(e, a2)，即 D 是 EC 的中点。

④ 用坐标面积公式：
　S_△ODB = 12|x_Dy_B − x_By_D| = 12·(ae − ae4) = 3ae8 = 3 → ae = 8。

⑤ S_△BDC：B(e2, a)、D(e, a2)、C(e, a) →
　面积 = 12·ae4 = ae8 = 1。

(1) 向上平移 2 个单位：y = x + 2。代入 A(1, 4)：4 = m1 → m = 4，即 y₂ = 4x。

(2) 直线 y = n 与 y₂ = 4x 交于 M(4n, n)；与 y = x + 2 交于 N(n − 2, n)；P(0, n)。

① n = 4：M(1, 4)、N(2, 4)、P(0, 4) → PM = 1，MN = 1 → 填 “=”。

② PM = 4n（n > 0）；MN = |n − 2 − 4n| = |n² − 2n − 4|n。
　分界点：n² − 2n − 4 = 0 → n = 1 + √5。

　当 0 < n < 1 + √5：需 4 < 2n + 4 − n² → n² − 2n < 0 → 0 < n < 2。

　当 n > 1 + √5：需 n² − 2n − 4 > 4 → n² − 2n − 8 > 0 → n > 4。

　故 0 < n < 2 或 n > 4。

① 正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点中心对称：x₂ = −x₁，y₂ = −y₁。

② 原式 = 2x₁(−y₁) + 3(−x₁)y₁ = −5x₁y₁。

③ A 在 y = −2x 上 → x₁y₁ = −2。故原式 = −5 × (−2) = 10。

① 由表 1：取 (−2, −3)、(0, −1) 得 k₁ = 1，b = −1，即 y₁ = x − 1（用 (3, 2) 验证 ✔）。

② 由表 2：k₂ = xy = (−1) × (−6) = 6，即 y₂ = 6x。

③ 解 x − 1 < 6x：移项通分
　x² − x − 6x < 0，即 (x − 3)(x + 2)x < 0。

④ 三个零点 −2、0、3 把数轴分成四段，用穿针引线法判断符号：
　x < −2 时为负 ✔；−2 < x < 0 时为正 ✘；
　0 < x < 3 时为负 ✔；x > 3 时为正 ✘。

故解集为 x < −2 或 0 < x < 3。

① A(2, 1)、B(2, 5) 在同一条竖直线上，P(2, t)（1 < t < 5）。

② 向量 PB→ = (0, 5 − t)。绕 P 顺时针旋转 90° 的坐标变换为 (x, y) → (y, −x)，
故 PQ→ = (5 − t, 0)，Q(2 + 5 − t, t) = (7 − t, t)。

③ Q 在 y = 10x 上：t(7 − t) = 10 → t² − 7t + 10 = 0 → t = 2 或 5。

④ t = 5 时 P(2, 5) 与 B 重合，不符合“不与端点重合”，舍去。故 t = 2。

(1) 代入两点得方程组：k + b = 3，2k + b = 5；
　两式相减得 k = 2，代回得 b = 1。

(2) 由(1)知 y = 2x + 1，y = x + 2，两直线交于 A(1, 3)。
　题意即：对一切 x < 1 恒有 mx < 2x + 1 且 mx < x + 2，
　整理为 (m − 2)x < 1 …… ①，(m − 1)x < 2 …… ②。

　①对一切 x < 1 成立：
　· m = 2 时化为 0 < 1，恒成立 ✔；
　· m > 2 时需 x < 1m − 2 覆盖所有 x < 1，即 1m − 2 ≥ 1 → m ≤ 3；
　· m < 2 时令 x → −∞，左端 (m − 2)x → +∞，不成立 ✘。
　故①给出 2 ≤ m ≤ 3。

　②对一切 x < 1 成立：
　· m = 1 时化为 0 < 2，恒成立 ✔；
　· m > 1 时需 2m − 1 ≥ 1 → m ≤ 3；
　· m < 1 时 ✘。
　故②给出 1 ≤ m ≤ 3。

　取交集：2 ≤ m ≤ 3。

【边界验证】m = 2：y = 2x 恒低于 y = 2x + 1；又 2x < x + 2 ⟺ x < 2 ✔。m = 3：x < 1 时 3x < 2x + 1 且 3x < x + 2 ✔。m = 3.1：取 x = 0.99，3.069 > 2.98 ✘。

① AC = 4，2AB = 4 → AB = 2，BC = √(16 − 4) = 2√3。设 OM = CN = x，则 0 ≤ x ≤ OD = 2。

② 建系：A(0, 0)、B(2, 0)、C(2, 2√3)、D(0, 2√3)，则 O(1, √3)。

③ OD 的方向单位向量为 (−12, √32) → M(1 − x2, √3 + √3x2)；
　N = C + (0, −x) = (2, 2√3 − x)。

④ MN² = (1 + x2)² + (x(1 + √32) − √3)²
　= 4 − 2(1 + √3)x + (2 + √3)x²（开口向上）。

⑤ 最小值在 x = 1 + √32 + √3 = √3 − 1 ≈ 0.73（在 [0, 2] 内）处取到，
　代入得 MN² = 2，故 MN_最小值 = √2。

(1) 由数据对称性：y = 2 对应 x = 0 与 x = p，而最大值 3.96 出现在 x = 2.8 处，
　故对称轴 x = 2.8，p = 2 × 2.8 − 0 = 5.6。

(2) 设 y = a(x − 2.8)² + 3.96，代入 (0, 2)：
　7.84a + 3.96 = 2 → a = −0.25。
　故 y = −0.25(x − 2.8)² + 3.96 = −0.25x² + 1.4x + 2（用其余各点验证均符合）。

(3) 若共有 n 位演员，则最后一位站在 x = n − 1 处，头部坐标为 (n − 1, 1.8)。

　中幡底部在 x = 5.6 处 y = 2，与头部的竖直差 |2 − 1.8| = 0.2 ≤ 0.3 ✔，
　水平差 |5.6 − (n − 1)| ≤ 0.6 → n − 1 ≥ 5 → n ≥ 6。

　检验 n = 6：最后一位在 x = 5，水平差恰为 0.6，可接住 ✔；
　检验 n = 5：最后一位在 x = 4，需 x ∈ [3.4, 4.6] 内 y ∈ [1.5, 2.1]，
　　而 y(3.4) = 3.32、y(4.6) = 3.15，都偏高，接不到 ✘。

故舞台上至少有 6 位演员。

新定义先翻译成式子：设 f 的“m-相关函数”为 g，则
　g(x) = −f(x)（x < m）；g(x) = f(x)（x ≥ m）。

(1) ① y = 2x 的“1-相关函数”：x < 1 时 g = −2x；x ≥ 1 时 g = 2x。
　P₁(−1, −2)：g(−1) = 2 ≠ −2 ✘；P₂(−1, 2)：g(−1) = 2 ✔；
　P₃(1, −2)：g(1) = 2 ≠ −2 ✘；P₄(1, 2)：g(1) = 2 ✔。
　答：P₂、P₄。

② f = 2x + b，其“2-相关函数” g：x < 2 时为 −2x − b，x ≥ 2 时为 2x + b。
　关于 x = 2 对称 ⟺ g(2 − t) = g(2 + t)
　→ −2(2 − t) − b = 2(2 + t) + b → b = −4。
　此时 g(x) = 2|x − 2|，确实关于直线 x = 2 对称。答：b = −4。

(2) ① y = (x − h)² 的“m-相关函数”图象由两段拼成：
　x < m 时是开口向下的 y = −(x − h)²；x ≥ m 时是开口向上的 y = (x − h)²。

　“始终有 2 个公共点”即：无论 m 取何值，图象与四边形 ABCD（x ∈ [−4, 2]，y ∈ [−1, 1]）恰有 2 个公共点。逐段数公共点：

　· 边 x = 2 上有公共点 ⟺ |2 − h| ≤ 1 ⟺ 1 ≤ h ≤ 3；
　· 边 x = −4 上有公共点 ⟺ |4 + h| ≤ 1 ⟺ −5 ≤ h ≤ −3；
　· 边 y = −1 的候选点 x = h ± 1 须满足 x < m（落在左支）；
　· 边 y = 1 的候选点 x = h ± 1 须满足 x ≥ m（落在右支）。
　总之 x = h ± 1 只要落在 [−4, 2] 内就恰好贡献 1 个点。

　分类讨论可得：h ≤ −5 或 h ≥ 3 时，总有某些 m 使公共点数为 0 或超过 2；
　当 −5 < h < 3 时，无论 m 取何值都恰有 2 个公共点。（如 h = 2 时，公共点为竖直边上一点与水平边上一点。）

② 线段 AD：y = 1，−4 ≤ x ≤ 2。f = x² + 2x + n 的“1-相关函数”：
　x < 1 时 g = −(x² + 2x + n)；x ≥ 1 时 g = x² + 2x + n。

　令 g = 1 分别求解：
　左支（x < 1）：x² + 2x + n + 1 = 0 → x = −1 ± √(−n)。
　　两根都在 [−4, 1) 内 ⟺ −4 < n < 0（两根不同）；−9 ≤ n ≤ −4 时只有一根 x = −1 − √(−n)。
　右支（x ≥ 1）：x = −1 + √(2 − n) ∈ [1, 2] ⟺ −7 ≤ n ≤ −2。

　要求总公共点数恰为 2：
　· −7 ≤ n < −4：左支 1 个 + 右支 1 个 = 2 ✔
　· −2 < n < 0：左支 2 个 + 右支 0 个 = 2 ✔（n = 0 时左支为重根，只算 1 个 ✘）
　· 其余情况为 1 个或 3 个 ✘
　答：−7 ≤ n < −4 或 −2 < n < 0。

(1)① 因为 AB 水平且长为 4，所以 PQ 也应水平且长为 4。
　设 P(p, p) 在直线 y = x 上，则 Q 只能为 (p − 4, p)，即相随点 Q 必在直线 y = x + 4 上。
　检验：Q₁(1, 5)：5 = 1 + 4 ✔；Q₂(−1, 3)：3 = −1 + 4 ✔，但此时 P(3, 3) 落在 AB 上，四点共线，不能构成四边形 ✘；
　Q₃(0, 4)：4 = 0 + 4 ✔；Q₄(−5, 0)：0 ≠ −5 + 4 ✘。答：Q₁、Q₃。

第(1)①题：相随点必在直线 y = x + 4 上

(1)② 这是“将军饮马”问题：固定点 O(0, 0)、B(5, 3)，在直线 y = x + 4 上找 Q 使 OQ + BQ 最小。
　作 O 关于直线 y = x + 4 的对称点 O′：OO′ 垂直于该直线（斜率 −1），且其中点在直线上，解得 O′(−4, 4)。

第(1)②题：将军饮马法求 OQ + BQ 最小值

　由对称性 OQ = O′Q，故 OQ + BQ = O′Q + BQ ≥ O′B = √[(5+4)² + (3−4)²] = √82。
　当 Q 取直线 O′B 与 y = x + 4 的交点时取等号。
　直线 O′B 过 (−4, 4)、(5, 3)，斜率为 −19；与 y = x + 4 联立解得 Q(−25, 185)。

第(2)题：正方形 CDEF 落在相随点带状区域内

(2) 线段 AB 所在直线：y = −x + 1（−2 ≤ x ≤ 2）。设 M(m, −m + 1)、N(n, −n + 1)，m、n ∈ [−2, 2]；P(p, p)，Q(x, y)。
　平行四边形对角线互相平分：MP 与 NQ 的中点重合，
　得 x = p + m − n，y = p + n − m，两式相减：y − x = 2(n − m)。

　由 n − m ∈ [−4, 4] 得 −8 ≤ y − x ≤ 8，即所有相随点恰好填满两条平行线 y = x − 8 与 y = x + 8 之间的带状区域。
　正方形落在 t − 1 ≤ x ≤ t + 1、0 ≤ y ≤ 2 内，只需 y − x 的最大值 3 − t ≤ 8 且最小值 −t − 1 ≥ −8，
　解得 t ≥ −5 且 t ≤ 7，即 −5 ≤ t ≤ 7。

(1)① 由表可知：x 从 0 增大到 2.8 时 y 恰好回到 0，故最远水平距离为 2.8 m；
　y 在 x = 1.4 处取得最大值 0.98，故最大竖直高度为 0.98 m。

　② 路线过原点且关于 x = 1.4 对称，顶点为 (1.4, 0.98)。
　设 y = a(x − 1.4)² + 0.98，代入 (0, 0)：1.96a + 0.98 = 0 → a = −12。
　所以 y = −12(x − 1.4)² + 0.98 = −12x² + 1.4x（0 ≤ x ≤ 2.8）。

　【检验】x = 0.4：−0.08 + 0.56 = 0.48 ✔；x = 2：−2 + 2.8 = 0.8 ✔；与表格完全吻合。

(2) 起跳点为原点，跳跃路线过 (0, 0) 与 (3, 0)，顶点在 x = 1.5、高 1。
　设 y = a(x − 1.5)² + 1，代入 (0, 0)：2.25a + 1 = 0 → a = −49。
　当 x = 2 时 y = −49 × 0.25 + 1 = 1 − 19 = 89 ≈ 0.89 > 0.8。
　所以野兔在篱笆处的高度大于篱笆高，能越过。

设胸腹高为 h（cm）。把文字条件翻译成代数式：
　单根膀条 = 5h；门条 = 5h − 10；BC = 59(5h − 10)；AB = CD = h。

门条被 A、B、C、D 分成三段，故 门条 = AB + BC + CD：
　5h − 10 = h + 59(5h − 10) + h = 2h + 59(5h − 10)。

两边同乘 9：45h − 90 = 18h + 25h − 50
　即 45h − 90 = 43h − 50 → 2h = 40 → h = 20。

按 1 : 1 : 2 求三段高：头部高 = 20，胸腹高 = 20，尾部高 = 40。
　总高 = 20 + 20 + 40 = 80（cm）。

【验算】门条 = 5 × 20 − 10 = 90 ✔；BC = 59 × 90 = 50 ✔；AB + BC + CD = 20 + 50 + 20 = 90 ✔；20 : 20 : 40 = 1 : 1 : 2 ✔。

括号内通分：x + 2xy + y²x = x² + 2xy + y²x = (x + y)²x。

除法改乘法：原式 = (x + y)²x · 3x(x − y)(x + y) = 3(x + y)x − y。

由 x + 3y = 0 得 x = −3y，代入得 3(−3y + y)−3y − y = −6y−4y = 32。

(1) 作图：因为 α = 60°，顶角为 60° 的等腰三角形就是等边三角形，所以 △APE、△BPF 都是等边三角形。

AP = |−2 − (−4)| = 2，所以 E 在 AP 的垂直平分线 x = −3 上，且到 AP（即 x 轴）的距离为 1 × tan60° = √3，可取 E(−3, √3) 或 E(−3, −√3)。

BP = |4 − (−2)| = 6，所以 F 在 BP 的垂直平分线 x = 1 上，且到 x 轴的距离为 3 × tan60° = 3√3，可取 F(1, 3√3) 或 F(1, −3√3)。

连 EF 取中点 M，得 M(−1, 2√3)、(−1, √3)、(−1, −√3)、(−1, −2√3) 四个可能位置（均在直线 x = −1 上）。在图中画出其中一种（例如取 E(−3, √3)、F(1, 3√3)，得 M(−1, 2√3)）即为所求的"60°中顶点"。

(2) 记 T = cotα2（α/2 ∈ (0°, 90°)，故 T > 0）。设 P = (4s, 4√3 − 4√3·s)，s ∈ (0, 1)，则 |AP| = 8s、|BP| = 8(1 − s)，两个等腰三角形的高分别为 4sT、4(1 − s)T。取 AB 的单位法向量 (√32, 12)，用 ε₁、ε₂ = ±1 表示 E、F 画在 AB 的哪一侧，记 δ = sε₁ + (1 − s)ε₂ ∈ {±1, ±(2s − 1)}（|δ| ≤ 1），则中点

M_x = 1 + 2s + √3Tδ，M_y = √3(3 − 2s) + Tδ。

M 在 y 轴上（M_x = 0）：需 √3T|δ| = 1 + 2s > 1，又 |δ| ≤ 1，故 T > √33。反过来当 T > √33 时，取 δ = 2s − 1（E、F 异侧），解 √3T(1 − 2s) = 1 + 2s 得 s = √3T − 12(1 + √3T) ∈ (0, 12)，成立。所以 y 轴上有 α 中顶点 ⟺ T > √33 ⟺ α < 120°。

M 在 x 轴上（M_y = 0）：需 T|δ| = √3(3 − 2s)，因 s < 1 得 3 − 2s > 1，故 T > √3。反过来当 T > √3 时，取 δ = 1 − 2s（需 s > 12，此时 δ < 0），解 T(2s − 1) = √3(3 − 2s) 得 s = 3√3 + T2(T + √3) ∈ (12, 1)，成立。所以 x 轴上有 α 中顶点 ⟺ T > √3 ⟺ α < 60°。

"有且只有一条坐标轴上存在"：α < 60° 时两条轴上都存在（不符合）；60° ≤ α < 120° 时只有 y 轴上存在（符合）；α ≥ 120° 时两条轴上都不存在（不符合）。故 60° ≤ α < 120°。

(3) 先把 M 用参数表示：AB 在 x 轴上，|AB| = 8，设 P = (t − 4 + 8s, 0)，s ∈ (0, 1)，则 E = (t − 4 + 4s, 4sTε₁)、F = (t + 4s, 4(1 − s)Tε₂)，中点

M = (t − 2 + 4s, 2Tδ)，δ ∈ {±1, ±(2s − 1)}。由 60° ≤ α ≤ 120° 得 T = cotα2 ∈ [√33, √3]。

右竖边 CD（x = 12，|y| ≤ 1）：令 t − 2 + 4s = 12 得 s = 5 − 2t8（需 ∈ (0, 1)）。若 δ = ±1，则 |M_y| = 2T ≥ 2√33 > 1，越界，故只能取 |δ| = |2s − 1| = |1 − 2t|4。取最小的 T = √33，要求 2√33·|1 − 2t|4 ≤ 1，即 |1 − 2t| ≤ 2√3

得 12 − √3 ≤ t ≤ 12 + √3（约 −1.232 ≤ t ≤ 2.232）。左竖边 EF（x = −12）：同理 s = 3 − 2t8，|2s − 1| = |1 + 2t|4，得 |1 + 2t| ≤ 2√3，即 −12 − √3 ≤ t ≤ √3 − 12（约 −2.232 ≤ t ≤ 1.232）。

两条竖边取交集（这一步把范围夹成 |t| ≤ √3 − 12 ≈ 1.232）：12 − √3 ≤ t ≤ √3 − 12。

横边 FC、DE（y = ±1，|x| ≤ 12）：需 2T|δ| = 1，即 |δ| = 12T ∈ [12√3, √32]，仍只能取 |δ| = |2s − 1|（E、F 异侧），此时 s = 12 ± 14T，代入得 M_x = t ± 1T，其中 1T ∈ [√33, √3]。要求 |M_x| ≤ 12，得

t ∈ [−12 − √3, 12 − √33] ∪ [√33 − 12, 12 + √3]，即 √33 − 12 ≤ |t| ≤ 12 + √3（约 0.077 ≤ |t| ≤ 2.232）。

四条边条件取交集：竖边要求 |t| ≤ √3 − 12，横边要求 |t| ≥ √33 − 12，故 12 − √3 ≤ t ≤ 12 − √33 或 √33 − 12 ≤ t ≤ √3 − 12，即 √33 − 12 ≤ |t| ≤ √3 − 12（约 0.077 ≤ |t| ≤ 1.232）。