初中数学知识要点

第一单元数与式

第1课时实数(含二次根式)每年2~5道 · 7~13分

考点1 实数的分类及正负数的意义

按定义分	1. 有理数：分为整数和分数。分数也包含有限小数和无限循环小数； 2. 无理数：无限不循环小数
按大小分	分为正实数、0、负实数。其中0既不是正数也不是负数，−a 也可以是正数
正负数的意义	常用正负数表示两种具有相反意义的量，如规定零上为“+”，则零下为“−”；规定收入为“+”，则支出为“−”等

【满分技法】常见的 4 种无理数类型：
1. π 及化简后含 π 的数，如

\frac{\pi}{3}

、

\pi+1

等；
2. 含根号且开方开不尽的数，如

\sqrt{2}

、

\sqrt{3}

、

\sqrt{5}

等；
3. 有规律的无限不循环小数，如 0.010 010 001…（相邻两个 1 之间依次多一个 0）等；
4. 化简后含有根式的三角函数值，如

\sin 60^\circ

、

\cos 45^\circ

等。

考点2 数轴、相反数、绝对值、倒数

1. 数轴

三要素	原点、正方向、单位长度
对应关系	实数与数轴上的点是一一对应的
性质	数轴上，原点右边的点表示的数大于 0，左边的点表示的数小于 0，且右边的点表示的数总比左边的点表示的数大
两点间的距离	等于右边的点表示的数减去左边的点表示的数

2. 相反数

定义	只有符号不同的两个数
性质	1. 非零实数 a 的相反数是 −a，特别地，0 的相反数是0； 2. 实数 a、b 互为相反数 ⇔ a+b=0
几何意义	在数轴上，表示互为相反数（0 除外）的两个点，分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等

3. 绝对值

性质	$\|a\|=\begin{cases}a & (a>0),\\ 0 & (a=0),\\ -a & (a<0)\end{cases}$ 绝对值具有非负性注：绝对值最小的实数是 0
几何意义	数轴上表示这个数的点到原点的距离

4. 倒数

定义	乘积是 1 的两个数互为倒数；非零实数 a 的倒数为 $\frac{1}{a}$
特殊情况	0 没有倒数，倒数等于它本身的数是 ±1

考点3 科学记数法

定义	把一个数表示成 $a\times10^n$ 的形式（ $1\le\|a\|<10$ ， $n$ 为整数）
表示方法	1. 当原数的绝对值 ≥ 10 时，n 为正整数，它等于原数的整数位数减 1； 2. 当 0 < 原数的绝对值 < 1 时，n 为负整数，\|n\| 等于原数中左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）

【满分技法】
1. 常见的计数单位有：1千=10³，1万=10⁴，1亿=10⁸；
2. 常见的计量单位有：1mm=10⁻³m，1μm=10⁻⁶m，1nm=10⁻⁹m，1公里=10³米。

考点4 近似数

定义	一个近似数四舍五入到哪一位，它就精确到哪一位
举例	近似数 12.30 精确到百分位；0.148 26 精确到百分位是 0.15

考点5 实数的大小比较

数轴法	1. 数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大； 2. 离原点越远的数，绝对值越大
类别法	1. 正数 > 0 > 负数； 2. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小
作差法	已知 a、b，常用 a−b 的结果来判断与 0 的大小： a−b>0 ⇔ a>b；a−b<0 ⇔ a<b；a−b=0 ⇔ a=b
平方法	已知 a、b，当其中一个数含有根号时可用此方法判断大小： $\sqrt{a}>b \iff a>b^2\ (b>0)$
作商法	已知 a、b，常将 $\frac{a}{b}$ 的结果化为最简形式来判断与 1 的大小（适用于 a、b 同号的比较大小）： (1) a>0, b>0： $\frac{a}{b}>1 \iff a>b$ ； $\frac{a}{b}=1 \iff a=b$ ； $\frac{a}{b}<1 \iff a<b$ (2) a<0, b<0： $\frac{a}{b}>1 \iff a<b$ ； $\frac{a}{b}=1 \iff a=b$ ； $\frac{a}{b}<1 \iff a>b$

考点6 算术平方根、平方根、立方根

平方根	实数 a（a>0）的平方根为 $\pm\sqrt{a}$ ，其中 $\sqrt{a}$ 为算术平方根；0 的平方根为 0
算术平方根	正数 a 的正的平方根 $\sqrt{a}$ 叫做 a 的算术平方根
立方根	实数 a 的立方根为 $\sqrt[3]{a}$

【满分技法】
1. 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；
2. 负数没有平方根；
3. 所有的数都有一个立方根，且与原数同号；
4. 平方根等于它本身的数是0；算术平方根等于它本身的数是0, 1；立方根等于它本身的数是0, 1, −1。

考点7 实数的运算

1. 基本运算法则

加法	(1) 同号两数相加：取相同的符号，并把它们的绝对值相加； (2) 异号两数相加：①绝对值相等时和为0；②绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③一个数同 0 相加，仍得这个数，即 a+0=a
减法	减去一个数等于加上这个数的相反数，如 a−b=a+(−b)
乘法	两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘。特别地，任何数与 0 相乘仍得 0
除法	除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数
乘方	$a^n = \underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{个}a}$

2. 运算律

交换律	加法交换律：a+b=b+a；乘法交换律：ab=ba
结合律	加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；乘法结合律：(ab)c=a(bc)
分配律	a(b+c)=ab+ac

3. 常见实数运算

0次幂	$a^0=1\ (a\ne 0)$
负整数指数幂	$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}\ (a\ne0,\ p\text{为正整数})$ ；特别地， $a^{-1}=\dfrac{1}{a}\ (a\ne0)$
去绝对值符号	$\|a-b\|=\begin{cases}a-b & (a>b),\\ 0 & (a=b),\\ b-a & (a<b)\end{cases}$ 先比较绝对值符号中两个数的大小，再利用绝对值的非负性去掉绝对值符号
−1的奇偶次幂	−1 的奇数次幂为 −1，如 $(-1)^{2025}=-1$ ；−1 的偶数次幂为 1，如 $(-1)^{2024}=1$
特殊角的三角函数值	$\sin30^\circ=\cos60^\circ=$ $\dfrac{1}{2}$ ； $\sin45^\circ=\cos45^\circ=$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ； $\sin60^\circ=\cos30^\circ=$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ； $\tan30^\circ=$ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ； $\tan45^\circ=$ $1$ ； $\tan60^\circ=$ $\sqrt{3}$
常见的开方	$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ ， $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ ， $\sqrt{16}=4$ ， $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ ， $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ ， $\sqrt{25}=5$ ， $\sqrt[3]{8}=2$ ， $\sqrt[3]{-8}=-2$ ， $\sqrt[3]{-27}=-3$

4. 运算顺序

运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；如有括号，先进行括号内的运算，一般按小括号、中括号、大括号依次进行；同级运算，从左到右依次进行。

考点8 二次根式的相关概念与性质

考点9 二次根式的运算及估值

加减	先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
乘	$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a\ge0,\ b\ge0)$
除	$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ (a\ge0,\ b>0)$
分母有理化	$\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{a}\ (a>0)$ $\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\ (a\ge0,\ b\ge0,\ \text{且}\ a\ne b)$
估值	1. 对二次根式平方，如 $(\sqrt{7})^2=7$ ； 2. 找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如 4 和 9； 3. 对以上两个整数开方，如 $\sqrt{4}=2$ ， $\sqrt{9}=3$ ； 4. 确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间，如 $2<\sqrt{7}<3$

【满分技法】牢记常见的无理数的近似值：

\sqrt{2}\approx1.414

，

\sqrt{3}\approx1.732

，

\sqrt{5}\approx2.236

，

\sqrt{6}\approx2.449

，

\pi\approx3.142

，

\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618

。

考点10 非负数

常见非负数	$a^2$ ， $\|b\|$ ， $\sqrt{c}\ (c\ge0)$
常见运算	若几个非负数的和为 0，则每个非负数的值均为 0。如：若 $a^2+\|b\|+\sqrt{c}=0$ ，则有 $a^2=0$ ， $\|b\|=0$ ， $\sqrt{c}=0$ ，即 $a=b=c=0$

第2课时整式与因式分解每年1~2道 · 2~7分

考点1 代数式及其求值

列代数式	把问题中与数量有关的词语,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来
代数式求值	1. 直接代入法:把已知字母的值代入代数式,并按运算顺序计算求值; 2. 整体代入法:当单个字母的值不能或不易求出时,可把已知条件作为一个整体,代入所求代数式中,应用这种方法时,先要对已知条件或所求代数式进行变形,如找倍数关系、因式分解、移项等

考点2 整式的相关概念

单项式	1. 定义:用数或字母的积表示的式子,单独的一个数或一个字母也是单项式; 2. 系数:单项式中的数字因数; 3. 次数:一个单项式中,所有字母指数的和
多项式	1. 定义:几个单项式的和; 2. 项:多项式中的每个单项式;不含字母的项叫做常数项; 3. 次数:多项式中次数最高项的次数
整式	单项式和多项式统称为整式

例：

3x^2y^3

—— 系数指向数字 3；次数

2+3=5

（

x

的指数 2 与

y

的指数 3 相加）。

单项式的系数与次数示意

考点3 整式的运算

1. 加减运算(实质:合并同类项)

同类项	所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项;所有的常数项都是同类项
合并同类项	1. 字母和字母的指数不变; 2. 系数相加减作为新的系数
去括号法则	1. 括号前是“+”号,去括号后,括号内各项不变号, $a+(b+c)=$ $a+b+c$ ; 2. 括号前是“−”号,去括号后,括号内每一项都变号, $a-(b-c)=$ $a-b+c$ 口诀:“+”不变,“−”变

2. 幂的运算( $a\ne0,b\ne0,m,n$ 为正整数)

同底数幂相乘	底数不变,指数相加,即 $a^m\cdot a^n=$ $a^{m+n}$
同底数幂相除	底数不变,指数相减,即 $a^m\div a^n=$ $a^{m-n}$
幂的乘方	底数不变,指数相乘,即 $(a^m)^n=$ $a^{mn}$
积的乘方	先把积中的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即 $(ab)^n=$ $a^nb^n$

3. 乘法运算

单项式乘单项式	把系数、同底数幂分别相乘,作为积的一个因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
单项式乘多项式	用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即 $m(a+b+c)=$ $ma+mb+mc$
多项式乘多项式	先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,即 $(m+n)(a+b)=$ $ma+mb+na+nb$
乘法公式	平方差公式: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 完全平方公式: $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ 常用的乘法公式变形: $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$ , $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$ 平方差公式几何背景：边长为 $a$ 的大正方形，右侧及下部分别切去宽为 $b$ 的长条（深色阴影），剩余部分面积用于说明 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ ；图中标注边长 $a$ 、切去部分宽度 $b$ 。平方差公式几何背景完全平方公式几何背景：并排两个边长为 $a+b$ 的大正方形（横向与纵向均分段标注 $a$ 、 $b$ ），内部划分为 $a\times a$ 、 $a\times b$ 、 $b\times a$ 、 $b\times b$ 四块并以深浅阴影区分，用于说明 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 。完全平方公式几何背景

4. 除法运算

单项式除以单项式	把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式
多项式除以单项式	先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加

考点4 因式分解

定义	把一个多项式化为几个整式的乘积的形式
基本方法	1. 提公因式法: $ma+mb+mc=$ $m(a+b+c)$ ; 2. 公式法: (1) $a^2-b^2\ \overset{\text{因式分解}}{\underset{\text{整式乘法}}{\rightleftharpoons}}\$ $(a+b)(a-b)$ ; (2) $a^2\pm2ab+b^2\ \overset{\text{因式分解}}{\underset{\text{整式乘法}}{\rightleftharpoons}}\$ $(a\pm b)^2$

【易错警示】因式分解是把和差化为积的形式,而整式乘法是把积化为和差的形式,二者不可混淆

第3课时分式6年5考 · 1~2道 · 2~7分

考点1 分式的相关概念及性质

相关概念	1. 定义:一般地,如果 $A,B$ 表示两个整式,并且 $B$ 中含有字母,且 $B\ne0$ ,那么式子 $\dfrac{A}{B}$ 叫做分式; 2. 分式有意义的条件: $B\ne0$ ; 3. 分式值为零的条件: $A=0$ 且 $B\ne0$ ; 4. 最简分式:分子与分母没有公因式的分式
基本性质	分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于 0的整式,分式的值不变, 即 $\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\cdot C}{B\cdot C}$ (用于通分) $=\dfrac{A\div C}{B\div C}$ (用于约分),其中 $A,B,C$ 是整式,且 $C\ne0$

考点2 分式的运算

1. 乘除运算

乘法	分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母, 即 $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=$ $\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}$ $=\dfrac{ac}{bd}$
除法	分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘, 即 $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=$ $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}$ $=\dfrac{ad}{bc}$

【满分技法】约分的关键是确定公因式:
1. 分子、分母能因式分解的先因式分解;
2. 取分子、分母中相同因式的最低次幂的积(数字因式取最大公约数)作为公因式

2. 加减运算

同分母	分母不变,把分子相加减, 即 $\dfrac{a}{c}\pm\dfrac{b}{c}=$ $\dfrac{a\pm b}{c}$
异分母	先通分,变为同分母的分式,再加减, 即 $\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad}{bd}\pm\dfrac{bc}{bd}=$ $\dfrac{ad\pm bc}{bd}$

【满分技法】通分的关键是寻找最简公分母:
1. 分母能因式分解的先因式分解;
2. 取各分母中所有因式的最高次幂的积(数字因式取最小公倍数)作为公分母

3. 分式化简求值的一般步骤

步骤	(1) 有括号的先计算括号内的; (2) 进行乘除运算; (3) 进行加减运算; (4) 代入相应的数字,求代数式的值(代值过程中要注意使分式有意义,即所代值不能使分母为零)

【易错警示】
1. 化简求值类题一定要做到“先”化简,“再”求值;
2. 通分时若有常数项,要记得给常数项乘最简公分母;
3. 含有括号的,要先计算括号里面的分式运算;
4. 分式化简求值时要注意符号的变化,分式的分子要作为一个整体,在添括号或去括号的时候,若括号前为负号,则去括号后括号内每一项都要变号;
5. 注意化简结果应为最简分式或整式;
6. 必须保证所“代”数值使原分式的分母及运算过程中分式的分母都不为 0

解题模板

已知

x=5

,求代数式

\left(\dfrac{x+2}{x^2-2x}-\dfrac{x-1}{x^2-4x+4}\right)\div\dfrac{x-4}{x}

的值.
解:原式

=\left[\dfrac{x+2}{x(x-2)}-\dfrac{x-1}{(x-2)^2}\right]\cdot\dfrac{x}{x-4}

=\dfrac{(x+2)(x-2)-(x-1)x}{x(x-2)^2}\cdot\dfrac{x}{x-4}

=\dfrac{x^2-4-x^2+x}{(x-2)^2(x-4)}

=\dfrac{1}{(x-2)^2}

,
当

x=5

时,原式

=\dfrac{1}{(5-2)^2}=\dfrac{1}{9}

第二单元方程(组)与不等式(组)

第4课时一元一次方程与一元一次不等式(组)每年1~2道 · 5~7分

考点1 等式与不等式的基本性质

	等式的性质	不等式的性质
同加减	性质 1：如果 $a=b$ ，那么 $a\pm c=$ $b\pm c$	性质 1：如果 $a>b$ ，那么 $a\pm c$ $>$ $b\pm c$
同乘除	性质 2：如果 $a=b$ ，那么 $ac=$ $bc$ ；如果 $a=b$ ，那么 $\dfrac{a}{c}=$ $\dfrac{b}{c}$ ，其中 $c\ne0$	性质 2：如果 $a>b$ ， $c>0$ ，那么 $\begin{cases}ac\ \underline{\ \text{⑤}\ }\ bc\\[3pt] \dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{c}\end{cases}$ 性质 3：如果 $a>b$ ， $c<0$ ，那么 $\begin{cases}ac\ \underline{\ \text{⑥}\ }\ bc\\[3pt] \dfrac{a}{c}<\dfrac{b}{c}\end{cases}$ 注：注意改变不等号的方向
对称性	如果 $a=b$ ，那么 $b=a$	如果 $a>b$ ，那么 $b<a$
传递性	如果 $a=b$ ， $b=c$ ，那么 $a=c$	如果 $a>b$ ， $b>c$ ，那么 $a>c$

考点2 一元一次方程与一元一次不等式的概念及解法

	一元一次方程	一元一次不等式	易错警示
概念	只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程	含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式
数学思想	化归思想
解题步骤	①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为 1
答题模板
题目	$1-\dfrac{5-x}{3}=\dfrac{x}{2}$	$1-\dfrac{5-x}{3}<\dfrac{x}{2}$
去分母	$6-2(5-x)=3x$	$6-2(5-x)<3x$	一个都不能少（不要漏乘常数项）
去括号	$6-10+2x=3x$	$6-10+2x<3x$	先乘后去（系数先乘进去，后去括号）
移项	$2x-3x=-6+10$	$2x-3x<-6+10$	过河变号（一边移到另一边，前面符号发生改变）
合并同类项	$-x=4$	$-x<4$	先寻找后合并（不是一家人，不进一家门）
系数化为 1	$x=-4$	$x>-4$	系数是谁除以谁（辨别分子与分母）
解集表示	／		／

【满分技法】不等式解集表示时：方向：小于向左，大于向右；边界："≤""≥"用实心圆点，"<">"用空心圆圈。

考点3 一元一次不等式组的解法及解集表示

类型（ $a>b$ ）	口诀	解集
$\begin{cases}x>a\\ x>b\end{cases}$	同大取大	$x>a$
$\begin{cases}x<a\\ x<b\end{cases}$	同小取小	$x<b$
$\begin{cases}x\le a\\ x>b\end{cases}$	大小小大取中间	$b
$\begin{cases}x\ge a\\ x<b\end{cases}$	大大小小取不了	无解

第6课时方程(组)与不等式的实际应用6年5考 · 2~6分

考点1 分式方程的实际应用

行程问题	$\dfrac{\text{路程}}{\text{速度}}=$ 时间
工程问题	$\dfrac{\text{②}}{\text{工作效率}}=$ 工作完成时间（当题干中没有给出具体工作总量时，默认工作总量为 1）
购买问题	$\dfrac{\text{总价}}{\text{③}}=$ 数量
航行问题	顺水速度＝静水船速＋水流速度；逆水速度＝静水船速－水流速度；水流速度＝(顺水速度－逆水速度)÷2；静水速度＝(顺水速度＋逆水速度)÷2

【满分技法】双检验：
1. 检验是否是分式方程的解；
2. 检验是否符合实际意义。

考点2 一元二次方程的实际应用

面积问题

设矩形 $ABCD$ 的长为 $a$ ，宽为 $b$ ，空白部分的路宽为 $x$ ，则阴影部分的面积：

[矩形

ABCD

四周各留宽

x

的空白路，阴影居中]

S_{\text{阴影}}=

(a-2x)(b-2x)

图① 四周留路

[矩形左侧留宽

x

的空白路，阴影靠右]

S_{\text{阴影}}=

(a-x)b

图② 单侧留路

[矩形内有一横一竖两条宽

x

的十字空白路]

S_{\text{阴影}}=

(a-x)(b-x)

图③ 十字路

循环赛问题

循环赛问题	1. 单循环淘汰赛问题：设 $x$ 队进行 $m$ 场比赛，则 $m=$ $\dfrac{x(x-1)}{2}$ （ $x\ge2$ ）； 2. 互赠照片问题：全班 $x$ 人，每人向其他人赠送一张，共赠送 $m$ 张，则 $m=$ $x(x-1)$ （ $x\ge2$ ）
每每问题	若单价每涨 $a$ 元，少卖 $b$ 件，则涨价 $y$ 元，少卖 $\dfrac{b}{a}\cdot y$ 件
平均变化率问题	1. 变化率 $=\dfrac{\text{变化量}}{\text{基础量}}\times100\%$ ； 2. 若起始量是 $a$ ，平均增长(降低)率是 $x$ ，增长(降低)次数为 2，最终量是 $b$ ，则有 $a(1\pm x)^2=b$

考点3 列方程(组)/不等式解应用题的步骤

1. 列方程(组)/不等式解应用题的一般步骤

审	审清题意，分清题中的已知量、未知量
设	设关键未知数，一般求什么，就设什么，也可设间接未知数
列	找出适当等量关系或不等关系，列方程(组)/不等式
解	解方程(组)/不等式
验	检验所解答案是否正确且是否符合题意
答	解答题作答，需注意单位名称

2. 常见关键词

常见关键词	大于，多于，超过，高于	小于，少于，不足，低于	至少，不低于，不小于，不少于	至多，不高于，不大于，不超过
不等号	>	<	≥	≤

【易错警示】在用不等式解决实际问题时，注意所设未知量是一个定值，所设条件不能出现至少、最多等词。

第三单元函数

第7课时平面直角坐标系6年2考 · 2~7分

考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征

各象限内
坐标轴上	1. 点 $P_1(x,y)$ 在 $x$ 轴上 ⇔ $y=$ $0$ ； 2. 点 $P_2(x,y)$ 在 $y$ 轴上 ⇔ $x=$ $0$ ； 3. 点 $P_3(x,y)$ 为原点 ⇔ $x=y=$ $0$
各象限角平分线上	1. 第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； 2. 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数
与坐标轴垂直的直线上	1. 垂直于 $y$ 轴的直线 $l_1$ 上点的纵坐标相等； 2. 垂直于 $x$ 轴的直线 $l_2$ 上点的横坐标相等
点的对称	$P(a,b)\xrightarrow{\text{关于 }x\text{ 轴对称}}P_1(a,-b)$ ； $P(a,b)\xrightarrow{\text{关于 }y\text{ 轴对称}}P_2$ $(-a,b)$ ； $P(a,b)\xrightarrow{\text{关于原点对称}}P_3$ $(-a,-b)$ ； $P(a,b)\xrightarrow{\text{关于直线 }x=m\text{ 对称}}P'$ $(2m-a,b)$ ； $P(a,b)\xrightarrow{\text{关于直线 }y=n\text{ 对称}}P'$ $(a,2n-b)$ ； $P(a,b)\xrightarrow{\text{关于点 }(m,n)\text{ 对称}}P'$ $(2m-a,2n-b)$ 口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号；关于原点对称都变号
点的平移	$P(x,y)\xrightarrow{\text{向上平移 }c\text{ 个单位长度}}P'(x,y+c)$ ； $P(x,y)\xrightarrow{\text{向下平移 }c\text{ 个单位长度}}P'(x,y-c)$ ； $P(x,y)\xrightarrow{\text{向左平移 }c\text{ 个单位长度}}P'(x-c,y)$ ； $P(x,y)\xrightarrow{\text{向右平移 }c\text{ 个单位长度}}P'(x+c,y)$ 口诀：右加左减，上加下减

考点2 平面直角坐标系中的距离

点到坐标轴及原点的距离	如图， $P(a,b)$ 为坐标系中任意一点。 1. 点 $P(a,b)$ 到 $x$ 轴的距离是 $\|b\|$ ； 2. 点 $P(a,b)$ 到 $y$ 轴的距离是 $\|a\|$ ； 3. 点 $P(a,b)$ 到原点的距离是 $\sqrt{a^2+b^2}$
平行于坐标轴的直线上两点间的距离	如图， $P(a,b)$ ， $P_1(c,d)$ ， $P_2(e,f)$ 为坐标系中的任意三点。 1. 当 $PP_1$ 平行于 $x$ 轴时，此时 $PP_1=\|c-a\|$ ； 2. 当 $PP_2$ 平行于 $y$ 轴时，此时 $PP_2=\|f-b\|$

【知识拓展】如图，

P_1(x_1,y_1)

，

P_2(x_2,y_2)

为坐标系中任意两点。 1. 线段

P_1P_2

中点的坐标为

\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)

（中点坐标公式）；
2. 点

P_1

，

P_2

之间的距离为

P_1P_2=\sqrt{P_1P^{2}+P_2P^{2}}=

\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

（坐标系中任意两点间的距离公式）。

考点3 根据条件建立合适的坐标系并简单应用

根据条件建立合适的坐标系

第一步：根据题中两点的横、纵坐标的大小关系确定

x

轴、

y

轴的大致方向；
第二步：根据一个已知点的坐标，确定

x

轴、

y

轴的具体位置；
第三步：将另一个已知点的坐标放到这个坐标系中进行验证，如果成立，则所建立的坐标系正确

应用

1. 用坐标表示地理位置：
物体的位置是相对的，描述一个物体的位置时，必须以某一个物体为参照物，来叙述它与参照物的方向和距离，建立坐标系是关键，用点的坐标表示位置是基本方法；
2. 用坐标表示平移：
在平面直角坐标系中，把一个图形上各点的横坐标都加上（或减去）一个正数

a

，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移

a

个单位长度；如果把一个图形各点的纵坐标都加上（或减去）一个正数

b

，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移

b

个单位长度；
图形的平移问题可以通过图形上点的平移来解决

第8课时函数及其图象2022.8 · 2分

考点1 函数的有关概念

概念	一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 $x$ 和 $y$ ，并且对于 $x$ 的每一个确定的值， $y$ 都有唯一确定的值与其对应，那么我们称 $y$ 是 $x$ 的函数，其中 $x$ 是自变量， $y$ 是因变量
表示方法	1. 解析式法； 2. 列表法； 3. 图象法
画函数图象的步骤	1. 列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 2. 描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 3. 连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来
由 $x$ 求 $y$ 的方法	1. 已知函数解析式：将 $x$ 值代入到函数解析式中，即可得 $y$ 值； 2. 已知函数图象，函数解析式未知：过点 $(x,0)$ 作垂直于 $x$ 轴的直线，与函数图象相交于一点，过该点作 $y$ 轴的垂线，读出交点的纵坐标即可

考点2 函数自变量的取值范围

含有分式	使分母不为零的实数，如 $y=\dfrac{3}{x-2}$ 中 $x$ 的取值范围为 $x\ne2$
含有二次根式	使被开方数大于或等于零的实数，如 $y=\sqrt{x+1}$ 中 $x$ 的取值范围为 $x\ge-1$
含有分式与二次根式	分母不为零，且被开方数大于或等于零，如 $y=\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}$ 中 $x$ 的取值范围为 $x\ge0$ 且 $x\ne1$ ， $y=\dfrac{1}{\sqrt{x+2}}$ 中 $x$ 的取值范围为 $x>-2$

【易错警示】在实际问题中，自变量的取值范围应使该问题有实际意义。

第10课时一次函数的图象与性质每年1道 · 5分

考点1 正比例函数的图象与性质

解析式	$y=kx$ （ $k$ 为常数，且 $k\ne0$ ），图象是经过原点 $(0,0)$ 的一条直线
$k$	$k>0$ 　\|　 $k<0$
图象(草图)	$k>0$ ：坐标系中过原点、呈上升趋势、经过一、三象限的直线； $k<0$ ：坐标系中过原点、呈下降趋势、经过二、四象限的直线
经过的象限	$k>0$ ：一、三　\|　 $k<0$ ：二、四
图象特征	正比例函数 $y=kx\ (k\ne0)$ 的图象是经过点 $(0,0)$ 和 $(1,k)$ 的一条直线，且关于原点中心对称
增减性	$k>0$ ：从左向右呈上升趋势， $y$ 随 $x$ 的增大而增大； $k<0$ ：从左向右呈下降趋势， $y$ 随 $x$ 的增大而减小

考点2 一次函数的图象与性质

解析式	$y=kx+b$ （ $k,b$ 为常数， $k\ne0$ ）
$k,b$ 的符号	分四种情况： $k>0,b>0$ ； $k>0,b<0$ ； $k<0,b>0$ ； $k<0,b<0$
图象(草图)	$k>0,b>0$ ：直线呈上升趋势，穿过一、二、三象限，与 $y$ 轴交于正半轴（在坐标系中画直线）； $k>0,b<0$ ：直线呈上升趋势，穿过一、三、四象限，与 $y$ 轴交于负半轴； $k<0,b>0$ ：直线呈下降趋势，穿过一、二、四象限，与 $y$ 轴交于正半轴（在坐标系中画直线）； $k<0,b<0$ ：直线呈下降趋势，穿过二、三、四象限，与 $y$ 轴交于负半轴
经过的象限	$k>0,b>0$ ：一、二、三； $k>0,b<0$ ：一、三、四； $k<0,b>0$ ：一、二、四； $k<0,b<0$ ：二、三、四
图象特征	一次函数 $y=kx+b\ (k\ne0)$ 的图象是经过点 $(0,b)$ 和 $\left(-\dfrac{b}{k},0\right)$ 的一条直线
增减性	$k>0$ ：从左向右看图象呈上升趋势， $y$ 随 $x$ 的增大而增大； $k<0$ ：从左向右看图象呈下降趋势， $y$ 随 $x$ 的增大而减小
与 $y$ 轴交点的位置	$b>0 \Leftrightarrow$ 交点在 $y$ 轴正半轴上； $b<0 \Leftrightarrow$ 交点在 $y$ 轴负半轴上（与 $k$ 的正负无关）

【满分技法】
1.

b

的值决定直线与

y

轴交点的位置；
2.

|k|

越大，直线越陡峭，

|k|=\tan\alpha

（

\alpha

为直线与

x

轴所夹的锐角）。

考点3 一次函数解析式的确定

方法	待定系数法
步骤	1. 设：一般式 $y=kx+b\ (k\ne0)$ （题干中未给解析式时需设）； 2. 代：找出一次函数图象上的两个点，并且将点坐标代入函数解析式，得到二元一次方程组； 3. 求：解方程组，求出 $k,b$ ； 4. 写：将 $k,b$ 代入，写出一次函数解析式

考点4 一次函数图象的平移

平移前的解析式	平移 $m$ 个单位长度（ $m>0$ ）　\|　平移后的解析式　\|　简记
$y=kx+b$ $(k\ne0)$	向左平移 $m$ 个单位长度： $y=k(x+m)+b$ 　\|　左“ $+$ ”
	向右平移 $m$ 个单位长度： $y=k(x-m)+b$ 　\|　右“ $-$ ”
	向上平移 $m$ 个单位长度： $y=kx+b+m$ 　\|　上“ $+$ ”
	向下平移 $m$ 个单位长度： $y=kx+b-m$ 　\|　下“ $-$ ”

【知识拓展】
1. 若一次函数

y_1=k_1x+b_1

与一次函数

y_2=k_2x+b_2

的图象平行，则

k_1=k_2

，且

b_1\ne b_2

；
2. 若这两个一次函数图象垂直，则

k_1\cdot k_2=-1

。

考点5 一次函数图象与坐标轴的交点及与方程(组)、不等式的关系

一次函数	$y=kx+b$ （ $k,b$ 为常数， $k\ne0$ ）
与坐标轴的交点	与 $x$ 轴交点坐标为 $\left(-\dfrac{b}{k},0\right)$ （即令 $y=0$ ）；与 $y$ 轴交点坐标为 $(0,b)$ （即令 $x=0$ ）
与一元一次方程的关系	方程 $kx+b=0\ (k\ne0)$ 的解是一次函数 $y=kx+b\ (k\ne0)$ 的函数值为零时自变量的取值，也是直线 $y=kx+b\ (k\ne0)$ 与 $x$ 轴交点的横坐标
与二元一次方程组的关系	方程组 $\begin{cases}y=k_1x+b_1,\\ y=k_2x+b_2\end{cases}$ 的解是直线 $y=k_1x+b_1$ 与直线 $y=k_2x+b_2$ 的交点坐标的值，其中 $x$ 的值为交点的横坐标， $y$ 的值为交点的纵坐标。图：坐标系中两直线 $y=k_1x+b_1$ 与 $y=k_2x+b_2$ 交于点 $A$ ，过 $A$ 向 $x$ 轴作垂足 $m$ 、向 $y$ 轴作垂足 $n$ ，标注 $A(m,n)$ 交点坐标示意图
与一元一次不等式的关系	1. 从“数”上看： (1) $kx+b>0$ 的解集是 $y=kx+b$ 中， $y>0$ 时 $x$ 的取值范围； (2) $kx+b<0$ 的解集是 $y=kx+b$ 中， $y<0$ 时 $x$ 的取值范围。 2. 从“形”上看： (1) $kx+b>0$ 的解集是函数 $y=kx+b$ 的图象位于 $x$ 轴上方部分对应的点的横坐标； (2) $kx+b<0$ 的解集是函数 $y=kx+b$ 的图象位于 $x$ 轴下方部分对应的点的横坐标。图：直线 $y=kx+b$ 穿过一、三象限，与 $x$ 轴交于正半轴附近； $x$ 轴上方标注“ $y>0$ 时”， $x$ 轴下方标注“ $y<0$ 时” 不等式解集示意图

核心考点突破 · 一次函数的图象与性质6年6考，在解答题中涉及考查

例1【一题多问】

已知一次函数

y=kx+b\ (k\ne0)

.
(1) 若

y

是关于

x

的正比例函数，则

b

的值为

0

；
(2) 若

b<0

，则该一次函数图象与

y

轴的交点在

y

轴负半轴（填“正”或“负”）；
(3) 当

y

随

x

的增大而减小时，

k

的值可以是

-1

（写出一个即可）；
(4) 在(3)的条件下，若点

A(x_1,y_1)

，

B(x_2,y_2)

在该函数图象上，且

x_1>x_2

，则

y_1

<

y_2

（填“

>

”“

<

”或“

=

”）；
(5) 若

k=1

，

b=2

，当

-1\le x\le 2

时，函数值

y

的取值范围为

1\le y\le 4

；
(6) 若

k+b=0

，下列图象中可能是函数

y=kx+b

的图象的是③（填图的序号）。

① 过原点，经第一、三象限

② 上升，交

y

轴正半轴

③ 下降，交

y

轴正半轴

④ 下降，交

y

轴负半轴

逐问解析

(1) 正比例函数的形式为 $y=kx$ ，没有常数项，所以 $b=0$ 。

(2) 令 $x=0$ 得 $y=b$ ，故图象与 $y$ 轴交于点 $(0,b)$ ； $b<0$ 时交点在 $y$ 轴的负半轴。

(3) $y$ 随 $x$ 的增大而减小 $\Leftrightarrow k<0$ ，任取一个负数即可，如 $k=-1$ 。

(4) 由(3)知 $k<0$ ， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；因为 $x_1>x_2$ ，所以 $y_1<y_2$ 。

(5) 此时 $y=x+2$ ， $y$ 随 $x$ 的增大而增大： $x=-1$ 时 $y=1$ ， $x=2$ 时 $y=4$ ，故 $1\le y\le 4$ 。

(6) 由 $k+b=0$ 得 $b=-k$ ，于是 $y=kx-k=k(x-1)$ ，图象恒过点 $(1,0)$ ，即与 $x$ 轴交于正半轴；又 $k\ne0$ ，故 $b=-k\ne0$ ，即 $k$ 与 $b$ 异号。

① 过原点 $\Rightarrow b=0$ ，则 $k=0$ ，与 $k\ne0$ 矛盾；
② $k>0,b>0$ （过一、二、三象限） $\Rightarrow k+b>0$ ；
③ $k<0,b>0$ （过一、二、四象限），与 $x$ 轴交于正半轴，符合；
④ $k<0,b<0$ （过二、三、四象限） $\Rightarrow k+b<0$ 。

故选 ③。

第12课时反比例函数的图象与性质每年1道 · 2分

考点1 反比例函数的图象与性质

解析式	$y=\dfrac{k}{x}$ （ $k$ 为常数， $k\ne0$ ）
$k$	$k$ $>$ $0$ 　\|　 $k$ $<$ $0$
图象(草图)	$k>0$ ：两支双曲线分别位于一、三象限，每支均无限接近两坐标轴但不相交； $k<0$ ：两支双曲线分别位于二、四象限，每支均无限接近两坐标轴但不相交
图象特征	图象无限接近于坐标轴，但不与坐标轴相交；关于直线 $y=\pm x$ 成轴对称；关于原点成中心对称
所在象限	$k>0$ ：一、三　\|　 $k<0$ ：二、四
图象上点的坐标特征	横、纵坐标之积恒等于 $k$
增减性	$k>0$ ：在每个象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而减小； $k<0$ ：在每个象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而增大

【满分技法】
1. 在两个分支上，第一象限

y

值大于第三象限

y

值；第二象限

y

值大于第四象限

y

值；
2. 反比例函数图象上点的横坐标或纵坐标的大小比较：先判断这几个点是否在同一象限内，若不在同一象限内，根据各象限点的坐标特征比较；若在同一象限内，根据函数的增减性进行判断；此外，也可以代值或取特殊值比较大小。

考点2 反比例函数系数 $k$ 的几何意义

k

的几何意义

在反比例函数

y=\dfrac{k}{x}

图象上任取一点

P(x,y)

，过这一点分别作

x

轴、

y

轴的垂线

PM,PN

，与坐标轴围成的矩形

PMON

的面积

S=PM\cdot PN=|y|\cdot|x|=|xy|=

|k|

。

图：第一象限内双曲线上一点

P(x,y)

，向

x

轴作垂足

M

、向

y

轴作垂足

N

，原点

O

，围成矩形

PMON

矩形

PMON

基本图形面积

P(x,y)

在第一象限双曲线上，

A

在

x

轴上、

B

在

y

轴上，

PA\perp x

轴，

PB\perp y

轴，直角三角形

APB

：

S_{\triangle APB}=

\dfrac{|k|}{2}

图①

S_{\triangle APB}

P(a,b)

在第一象限双曲线上，

C

在

y

轴上，

O,A

在

x

轴上，四边形

PABC

为矩形：

S_{\square PABC}=

|k|

图②

S_{\square PABC}

P(x,y)

在第一象限双曲线上，

P'

为

P

关于原点的对称点（第三象限），

A

在

x

轴上，

\triangle APP'

：

S_{\triangle APP'}=

|k|

图③

S_{\triangle APP'}

A

在

y

轴正半轴，

B

在第三象限双曲线上，

C

在

x

轴上，

\triangle ABC

：

S_{\triangle ABC}=

|k|

图④

S_{\triangle ABC}

考点3 反比例函数解析式的确定

待定系数法	1. 设所求反比例函数解析式为 $y=\dfrac{k}{x}\ (k\ne0)$ ； 2. 找出反比例函数图象上的一点 $P(a,b)$ 并将其代入解析式得 $k=ab$ ； 3. 确定反比例函数解析式 $y=\dfrac{ab}{x}$
利用 $k$ 的几何意义	当题中已知面积时，考虑利用 $k$ 的几何意义： 1. 由面积得 $\|k\|$ ； 2. 再结合函数图象所在象限判断 $k$ 的正负，从而得出 $k$ 的值； 3. 将 $k$ 的值代入解析式即可

第13课时二次函数的图象与性质每年1道 · 6分

考点1 二次函数的图象与性质

解析式

y=ax^2+bx+c

(

a,b,c

是常数,

a\ne0

)

开口方向

a>0

,开口向上

a<0

,开口向下

图象(草图)

开口向上的抛物线:对称轴为竖直虚线,顶点在第四象限附近,与

x

轴交于原点两侧。轴标注

x,y,O

。

a>0

草图

开口向下的抛物线:对称轴为竖直虚线,顶点在第一象限附近,与

x

轴交于原点两侧。轴标注

x,y,O

。

a<0

草图

对称轴

对称轴为直线

x=-\dfrac{b}{2a}

(或

x=\dfrac{x_1+x_2}{2}

,其中

x_1,x_2

为关于对称轴对称的两点的横坐标)

顶点坐标

(1) 顶点坐标为

\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)

;
(2) 将一般式配方化为顶点式

y=a(x-h)^2+k

,则顶点坐标为

(h,k)

增减性

在对称轴左侧,

y

随

x

的增大而减小;在对称轴右侧,

y

随

x

的增大而增大

在对称轴左侧,

y

随

x

的增大而增大;在对称轴右侧,

y

随

x

的增大而减小

最值

当

x=-\dfrac{b}{2a}

时,

y

取最小值

\dfrac{4ac-b^2}{4a}

当

x=-\dfrac{b}{2a}

时,

y

取最大值

\dfrac{4ac-b^2}{4a}

反思:对于二次函数

y=ax^2+bx+c

,其中

a>0,b>0,c<0

时,请在右图的平面直角坐标系中,画出该函数的大致图象开口向上，对称轴在

y

轴左侧，与

y

轴交于负半轴，与

x

轴有两个交点

平面直角坐标系(仅画好

x

轴、

y

轴与原点

O

,留空待画抛物线)。

反思图⑩

考点2 二次函数图象与系数 $a,b,c$ 的关系

$a$ 决定开口方向	$a>0$ :开口向上
$a$ 决定开口方向	$a<0$ :开口向下
$a,b$ 决定对称轴的位置	$b=0$ :对称轴为 $y$ 轴
	$a,b$ 同号:对称轴在 $y$ 轴左侧
	$a,b$ 异号:对称轴在 $y$ 轴右侧
$c$ 决定与 $y$ 轴的交点位置	$c=0$ :抛物线过原点
	$c>0$ :抛物线与 $y$ 轴交于正半轴
	$c<0$ :抛物线与 $y$ 轴交于负半轴

考点3 二次函数解析式的确定(待定系数法)

类型	已知条件	所设解析式
顶点式	顶点坐标 $(h,k)$	$y=a(x-h)^2+k\ (a\ne0)$
顶点式	对称轴为直线 $x=h$ 且最值为 $y=k$	$y=a(x-h)^2+k\ (a\ne0)$
交点式	与 $x$ 轴的两个交点坐标 $(x_1,0)$ 和 $(x_2,0)$	$y=a(x-x_1)(x-x_2)\ (a\ne0)$
一般式	任意三点坐标	$y=ax^2+bx+c\ (a\ne0)$

考点4 二次函数图象的平移

平移前的解析式	平移 $n$ 个单位长度( $n>0$ )	平移后的解析式	简记
$y=a(x-h)^2+k\ (a\ne0)$	向左平移 $n$ 个单位长度	$y=a(x-h\ \boxed{+n})^2+k$	左"+" 右"−"
	向右平移 $n$ 个单位长度	$y=a(x-h\ \boxed{-n})^2+k$	左"+" 右"−"
	向上平移 $n$ 个单位长度	$y=a(x-h)^2+k\ \boxed{+n}$	上"+" 下"−"
	向下平移 $n$ 个单位长度	$y=a(x-h)^2+k\ \boxed{-n}$	上"+" 下"−"

【满分技法】在二次函数图象平移时,通常将一般式转化为顶点式,再根据平移规律运算

考点5 二次函数与坐标轴的交点及与方程的关系

二次函数	$y=ax^2+bx+c$ ( $a,b,c$ 是常数,且 $a\ne0$ )
与坐标轴的交点	与 $x$ 轴交点坐标为 $\left(\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0\right)$ 、 $\left(\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0\right)$ (即令 $y=0$ )
与坐标轴的交点	与 $y$ 轴交点坐标为 $(0,c)$ (即令 $x=0$ )
与一元二次方程的关系	1. 方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根是二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴交点的横坐标; 2. $b^2-4ac>0 \Leftrightarrow$ 抛物线与 $x$ 轴有两个交点 $\Leftrightarrow$ 方程有两个不相等的实数根; 3. $b^2-4ac=0 \Leftrightarrow$ 抛物线与 $x$ 轴有一个交点 $\Leftrightarrow$ 方程有两个相等的实数根; 4. $b^2-4ac<0 \Leftrightarrow$ 抛物线与 $x$ 轴无交点 $\Leftrightarrow$ 方程无实数根

核心考点突破

一、二次函数的图象与性质 6年6考 · 在二次函数综合题中涉及考查

例1【一题多设问】

对于二次函数 $y=-x^2+2x+3$ ，下表给出了两个变量 $x,y$ 部分的对应关系。

$x$	…	$-2$	$-1$	$0$	$m$	$2$	$3$	$4$	…
$y$	…	$-5$	$0$	$3$	$4$	$n$	$0$	$-5$	…

(1) 上表中： $m=$ $1$ ， $n=$ $3$ ；

(2) 结合上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中，通过描点、连线，画出该二次函数的图象；

例1题图 ·

y=-x^2+2x+3

的图象

(3) 观察图象，回答下列问题：

① 该二次函数的图象的对称轴是直线 $x=$ $1$ ；

② 当 $x<1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x>1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $x=1$ 时， $y$ 取最大值，为 $4$ ；

③ 该二次函数的图象与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-1,0)$ 、 $(3,0)$ ，与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,3)$ ；

(4) 点 $A\left(-\dfrac{3}{2},y_1\right)$ ， $B\left(-\dfrac{1}{2},y_2\right)$ ， $C\left(\dfrac{3}{2},y_3\right)$ 是该二次函数图象上的三点，则 $y_1,y_2,y_3$ 的大小关系为 $y_1<y_2<y_3$ （用“ $<$ ”连接）；

(5) 当 $-5\le x\le-1$ 时， $y$ 的最大值为 $0$ ，最小值为 $-32$ ；当 $-5\le x\le4$ 时， $y$ 的最大值为 $4$ ，最小值为 $-32$ 。

逐问解析

(1) 令 $y=4$ ，则 $-x^2+2x+3=4$ ，即 $(x-1)^2=0$ ，得 $x=1$ ，故 $m=1$ ；
令 $x=2$ ，则 $y=-4+4+3=3$ ，故 $n=3$ 。

(2) 配方： $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$ ，顶点 $(1,4)$ ，对称轴 $x=1$ ，开口向下。把表中 7 个点 $(-2,-5)$ 、 $(-1,0)$ 、 $(0,3)$ 、 $(1,4)$ 、 $(2,3)$ 、 $(3,0)$ 、 $(4,-5)$ 描出后用平滑曲线连接（图见上方）。

(3) ① 由顶点式直接读出对称轴 $x=1$ ；
② 开口向下时，在对称轴左侧（ $x<1$ ） $y$ 随 $x$ 增大而增大，右侧（ $x>1$ ）减小，顶点处取最大值 $4$ ；
③ 表中 $y=0$ 对应 $x=-1$ 与 $x=3$ ，即与 $x$ 轴交于 $(-1,0)$ 、 $(3,0)$ ； $x=0$ 时 $y=3$ ，即与 $y$ 轴交于 $(0,3)$ 。

(4) 三点横坐标到对称轴 $x=1$ 的距离分别为 $2.5$ 、 $1.5$ 、 $0.5$ 。抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，故 $y_1<y_2<y_3$ 。
代入验证： $y_1=-\dfrac{9}{4}$ ， $y_2=\dfrac{7}{4}$ ， $y_3=\dfrac{15}{4}$ ，确有 $y_1<y_2<y_3$ 。

(5) ① $-5\le x\le-1$ 全在对称轴左侧，函数在此区间递增，故 $x=-1$ 时取最大值 $0$ ， $x=-5$ 时取最小值 $y=-25-10+3=-32$ 。
② $-5\le x\le4$ 包含对称轴 $x=1$ ，顶点 $(1,4)$ 在区间内，故最大值为 $4$ ；两端点 $y(-5)=-32$ 、 $y(4)=-16+8+3=-5$ ，故最小值为 $-32$ 。

第四单元三角形

第17课时几何初步、相交线与平行线每年2~4道 · 7~14分

考点1 直线和线段

两个基本事实	1. 直线的基本事实:经过两点有一条直线,并且只有一条直线,即两点确定一条直线; 2. 线段的基本事实:两点的所有连线中,线段最短,即两点之间线段最短
两点间的距离	连接两点间的线段的长度
线段的和与差	如图,点 $B$ 是线段 $AC$ 上一点,则有: $AB+BC=AC$ ; $AB=AC-BC$ ; $BC=AC-AB$ 线段 $AC$ 上依次有 $A,B,C$ 三点, $B$ 在 $A,C$ 之间。线段和差图
线段中点	如图,点 $M$ 是线段 $AB$ 的中点,则有: $AM=$ $MB$ $=\dfrac{1}{2}$ $AB$ 线段 $AB$ 上有中点 $M$ ,依次 $A,M,B$ 。线段中点图

考点2 角及角平分线

1. 角的度量及换算

量角器的使用方法	量角器的中心点和角的顶点重合,量角器的 $0$ 刻度线和角的一条边重合,做到两重合后看角的另一边所在线落在量角器刻度线对应的度数
角的分类	按大小分:周角( $360^\circ$ )>平角( $180^\circ$ )>钝角>直角( $90^\circ$ )>锐角
角的换算	度、分、秒的换算: $1^\circ=60'$ , $1'=60''$ (角的度、分、秒是 $60$ 进制的)
角的大小比较	1. 重合法;2. 度量法

2. 余角、补角、角平分线

余角	1. 概念:如果两个角的和等于 $90^\circ$ ,就说这两个角互为余角; 2. 性质:同角(或等角) 的余角相等
补角	1. 概念:如果两个角的和等于 $180^\circ$ ,就说这两个角互为补角; 2. 性质:同角(或等角) 的补角相等
角平分线	1. 性质:角平分线上的点到角两边的距离相等; 2. 逆定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上

考点3 相交线

1. 三线八角

图示	两条水平直线被一条从左上向右下倾斜的截线所截,形成 8 个角:上方交点处按顺时针标 $\angle 1$ (右上)、 $\angle 2$ (右下)、 $\angle 3$ (左下)、 $\angle 4$ (左上);下方交点处按顺时针标 $\angle 5$ (右上)、 $\angle 6$ (右下)、 $\angle 7$ (左下)、 $\angle 8$ (左上)。三线八角图
对顶角	举例: $\angle 1$ 与 $\angle 3$ , $\angle 2$ 与 $\angle 4$ , $\angle 5$ 与 $\angle 7$ , $\angle 6$ 与 $\angle 8$ ; 性质:对顶角相等
邻补角	举例: $\angle 1$ 与 $\angle 4$ 或 $\angle 2$ , $\angle 6$ 与 $\angle 5$ , $\angle 4$ 与 $\angle 3$ 或 $\angle 1$ , $\angle 5$ 与 $\angle 8$ 等; 性质:互为邻补角的两个角之和等于 $180^\circ$
同位角	举例: $\angle 1$ 与 $\angle 5$ , $\angle 2$ 与 $\angle 6$ , $\angle 4$ 与 $\angle 8$ , $\angle 3$ 与 $\angle 7$
内错角	举例: $\angle 2$ 与 $\angle 8$ , $\angle 3$ 与 $\angle 5$
同旁内角	举例: $\angle 2$ 与 $\angle 5$ , $\angle 3$ 与 $\angle 8$

2. 垂线

点到直线的距离

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度

垂线、线段垂直平分线

垂线的性质	1. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（基本事实）； 2. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
线段垂直平分线	1. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 2. 逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

考点4 平行线

平行公理及推论	1. 公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（基本事实）； 2. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行【拓展延伸】在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
平行线的判定与性质	1. 同位角相等 $\stackrel{\text{判定}}{\underset{\text{性质}}{\rightleftharpoons}}$ 两直线平行（基本事实） 2. 内错角相等 $\stackrel{\text{判定}}{\underset{\text{性质}}{\rightleftharpoons}}$ 两直线平行 3. 同旁内角互补 $\stackrel{\text{判定}}{\underset{\text{性质}}{\rightleftharpoons}}$ 两直线平行
平行线之间的距离	1. 概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 2. 性质：(1) 一组平行线被另一组平行线所截，截得的两条线段相等；(2) 平行直线间的距离处处相等

考点5 定义、命题与定理

定义	对一个名词或术语的意义的说明
命题	命题：“如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除” 1. 该命题的条件是“一个数能被2整除”，结论是“这个数也能被4整除”，该命题是假命题； 2. 该命题的逆命题是“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”，该命题的逆命题是真命题
定理	基本事实及经过推理证实为正确的真命题叫做定理，可作为推理依据

第18课时三角形与多边形的性质每年2~4道 · 4~18分

考点1 三角形的分类

按边分	1. 三条边都不相等的三角形； 2. 等腰三角形：底边和腰不相等的等腰三角形或等边三角形
按角分	1. 锐角三角形：三个内角都是锐角； 2. 直角三角形：有一个内角为90°； 3. 钝角三角形：有一个内角是钝角

考点2 三角形的基本性质及面积公式

三角形：底边 a（BC），高 h（AD）

三边关系	三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边
内外角关系	1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 $180^\circ$ 2. 任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，如图，∠1= $\angle BAC+\angle B$ ； 3. 任意一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，如图，∠1>∠BAC，∠1>∠B
边角关系	在同一个三角形中，等边对等角，等角对等边，大边对大角
面积公式	$S=\frac{1}{2}ah$ （h 为 BC 边上的高）

【满分技法】在解决面积问题时，常会用到同底（等底）等高（同高）的三角形面积相等。

考点3 三角形中的重要线段

高线（AD是高线）	(1) $AD\perp$ $BC$ ； (2) ∠ADB=∠ADC= $90$ °； (3) $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{BD}{DC}$ ； (4) 三角形的垂心：三角形的三条高所在直线的交点。直角三角形的三条高的交点是直角顶点
角平分线（AD是角平分线）	(1) ∠1= $\angle 2$ $=\frac{1}{2}\angle BAC$ ； (2) 角平分线上的点到角两边的距离相等； (3) $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ ； (4) 三角形的内心：三角形的三条角平分线的交点
中线（AD是中线）	(1) $BD=$ $CD$ $=$ $\dfrac{1}{2}$ $BC$ ； (2) $S_{\triangle ABD}=$ $S_{\triangle ACD}$ $=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$ ； (3) 三角形的重心：三角形的三条中线的交点，重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍
中位线（DE是中位线）	(1) $DE\parallel BC$ 且 $DE=$ $\dfrac{1}{2}$ $BC$ ； (2) $S_{\triangle ADE}=$ $\dfrac{1}{4}$ $S_{\triangle ABC}$ ； (3) 三角形的中位线的两个端点分别是三角形两边的中点； (4) 三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形

考点4 多边形的性质

内角和定理	n 边形的内角和等于 $(n-2)\times180^\circ$
外角和定理	任意多边形的外角和等于 $360^\circ$
对角线	过 n 边形一个顶点可引 $n-3$ 条对角线，把这个 n 边形分成 (n−2) 个三角形，n 边形共有 $\dfrac{n(n-3)}{2}$ 条对角线
不稳定性	n（n>3）边形具有不稳定性

考点5 正多边形的性质

边	正 n 边形各条边相等
内角	各个内角相等，正 n 边形的每个内角为 $\dfrac{(n-2)\times180^\circ}{n}$
外角	各个外角相等，正 n 边形的每个外角为 $\dfrac{360^\circ}{n}$
对称性	1. 正多边形都是轴对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是中心对称图形； 2. 正 n 边形有 $n$ 条对称轴

第19课时全等三角形每年1~4道 · 7~14分

考点1 全等三角形的性质

角	对应角相等
边、中线、高线、角平分线、中位线	对应边、对应中线、对应高线、对应角平分线、对应中位线相等
面积	面积相等

考点2 全等三角形的判定

两角一边	两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）
两角一边	两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（AAS）
两边一角	两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）
斜边直角边	斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）
三边	三边分别相等的两个三角形全等（SSS）

图：五种判定方法的三角形对应关系示意图（ASA / AAS / SAS / HL / SSS 分别对应一组全等三角形）

核心考点突破 · 模型一平移型

例1（2024朝阳区期末）如图，点

A,B,C,D

在一条直线上，

\angle A=\angle FBD

，

AC=BD

，

EC\parallel FD

，求证：

AE=BF

。

例1题图

思路分析（平移型模型）

图形特征： $AC$ 与 $BD$ 是同一直线上的两条相等线段，另有 $EC\parallel FD$ ，这正是平移型全等模型——把 $\triangle ACE$ 沿直线方向向右平移 $AB$ 的长度，即可与 $\triangle BDF$ 重合。

要证 $AE=BF$ ，只需证 $\triangle ACE\cong\triangle BDF$ 。已知中已经有一组角（ $\angle A=\angle FBD$ ）和一组边（ $AC=BD$ ）对应相等，再结合 $EC\parallel FD$ 得到同位角 $\angle ACE=\angle FDB$ ，即可用 ASA 判定。

证明

∵ $EC\parallel FD$ ，

∴ $\angle ACE=\angle FDB$ （两直线平行，同位角相等）。

在 $\triangle ACE$ 与 $\triangle BDF$ 中，

$\begin{cases}\angle A=\angle FBD\ (已知),\\ AC=BD\ (已知),\\ \angle ACE=\angle FDB\ (已证),\end{cases}$

∴ $\triangle ACE\cong\triangle BDF$ （ASA）。

∴ $AE=BF$ （全等三角形的对应边相等）。

方法总结

遇到“共线线段相等 + 一组平行线”的图形，优先找平移型全等：公共线段 $BC$ 是两三角形的“公共部分”，由 $AC=BD$ 减去（或加上）公共部分 $BC$ 即可得到另一组边相等，常用判定为 SAS、ASA、AAS。

模型总结 · 模型一平移型

模型展示	点 A、B、C、D 在同一条直线上，AC = BD，EC ∥ FD：△ACE 与 △BDF 的底边都在这条直线上且互相错开（公共部分为 BC）；把 △ACE 沿直线向右平移 AB（= CD）的长度，就与 △BDF 完全重合，故称“平移型”。蓝：△ACE（底边 AC）　绿：△BDF（底边 BD）　AC = BD，两段重叠部分为 BC　斜线标记：EC ∥ FD
模型特点	两个三角形形状、大小相同，位置沿同一条直线错开；已知的相等线段 AC 与 BD 共线且重叠（公共部分 BC），并常伴有一组平行线（EC ∥ FD）提供对应角相等
解题思路	① 由 AC = BD 两边同减公共部分 BC，得 AB = CD（这就是“平移距离”）；② 由 EC ∥ FD 得同位角 ∠ACE = ∠FDB；③ 再结合已知的一组角（或边），用 ASA（或 SAS、AAS）证 △ACE ≌ △BDF，最后由全等得到对应边、对应角相等

第五单元四边形

第23课时平行四边形每年2~3道 · 5~9分

考点1 平行四边形的性质

边	两组对边分别平行且相等
角	两组对角分别相等
对角线	两条对角线互相平分
对称性	是中心对称图形,两条对角线的交点 O 为对称中心
周长	$C=2(a+b)$
面积	$S=ah$

图：平行四边形 ABCD,对角线交于对称中心 O;过 O 的直线交对边 AB、CD 于 E、F,高为 h。

【满分技法】
1. 两条对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形,即

S_{\triangle AOB}=S_{\triangle BOC}=S_{\triangle COD}=S_{\triangle AOD}

;
2. 过对角线交点 O 的直线分别交平行四边形两对边于点 E,F,则 EF 等分平行四边形面积和周长,即

S_{四边形AEFD}=S_{四边形BEFC}

C_{四边形AEFD}=C_{四边形BEFC}

。

考点2 平行四边形的判定

边	1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义); 2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角	两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线	两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

第24课时矩形、菱形、正方形每年1~2道 · 2~7分

考点1 特殊平行四边形的性质

图形 / 性质	矩形	菱形	正方形
边	对边平行且相等	对边平行，四条边都相等	对边平行，四条边都相等
角	四个角都是直角	对角相等，邻角互补	四个角都是直角
对角线	互相平分且相等	互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角	互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性	中心对称图形,O 为对称中心;轴对称图形,有 2 条对称轴	中心对称图形，O 为对称中心；轴对称图形，有 2 条对称轴	中心对称图形，O 为对称中心；轴对称图形，有 4 条对称轴
周长	$C=2(a+b)$	$C=4a$	$C=4a$
面积	$S=ab$	$S=\dfrac{1}{2}mn$ （ $m,n$ 为两条对角线的长）	$S=a^2$

矩形 ABCD:长 a、宽 b,对角线交于 O。

菱形 ABCD:对角线 AC、BD 互相垂直平分于 O。

正方形 ABCD:边长 a,对角线 l,交于 O。

考点2 特殊平行四边形的判定

特殊平行四边形的判定关系

四边形 → 平行四边形:边——两组对边分别平行;两组对边分别相等;一组对边平行且相等;角——两组对角分别相等;对角线——互相平分。
→ 矩形:从平行四边形——有一个角是直角(90°),或对角线相等;从四边形——有三个角是直角(90°)。
→ 菱形:从平行四边形——一组邻边相等,或对角线互相垂直;从四边形——四条边都相等。
矩形 → 正方形:一组邻边相等,或对角线互相垂直。
菱形 → 正方形:有一个角是直角(90°),或对角线相等。

考点3 中点四边形

原图形	任意四边形	对角线相等的四边形(如矩形)	对角线垂直的四边形(如菱形)	对角线垂直且相等的四边形(如正方形)
中点四边形形状	平行四边形	菱形	矩形	正方形

第六单元圆

第25课时圆的基本概念及性质6年9考 · 4~8分

考点1 圆的基本概念及性质

性质	1. 对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心; 2. 旋转不变性:圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合

考点2 确定圆的条件

圆的确定	不在同一条直线上的三个点确定一个圆

【满分技法】过不在同一条直线上的三点作圆,其实质为作这三点构成的三角形的外接圆。

考点3 弧、弦、圆心角的关系

定理	在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等
推论	1. 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等; 2. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等

考点4 圆周角定理及其推论

定理	一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
常见图形结论	$\angle ACB=\dfrac{1}{2}\angle AOB$ (即 $\angle ACB=$ $\dfrac{1}{2}$ $\angle AOB$ )
推论	1. 同弧或等弧所对的圆周角相等; 2. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角（90°）,90° 的圆周角所对的弦是直径

考点5 垂径定理及其推论

垂径定理	垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧
推论	平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧
结论	如图,直径 CD ⊥ 弦 AB 于 E: 1. $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$ ; 2. $\overset{\frown}{AD}$ $=\overset{\frown}{BD}$ ; 3. $AE=$ $BE$ ; 4. $AB\perp$ $CD$ ; 5. CD 是直径。若其中任意两条结论成立,那么其他三个结论也成立,即"知二推三"。

图:⊙O 中,直径 CD 竖直,弦 AB 水平,交于点 E(C 在上、D 在下)。

【易错警示】若已知条件 3 和条件 5,则需注意条件 3 中的弦 AB 不为直径。

【满分技法】应用:半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形,满足勾股定理

OB^2=OE^2+BE^2

,常用于在圆中求线段长。

考点6 三角形的外接圆

外心	三角形外接圆圆心或三角形三条边的垂直平分线的交点叫做外心
性质	三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
角度关系	$\angle BOC=$ $2$ $\angle BAC$ (O 为外心)

图:△ABC 的外接圆 ⊙O,O 为三边垂直平分线的交点。

考点7 圆内接四边形

概念	如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上,则这个四边形叫做圆内接四边形
性质	1. 圆内接四边形的对角互补,如图, $\angle A+\angle BCD=$ $180^\circ$ , $\angle B+\angle D=$ $180^\circ$ ; 2. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角),如图, $\angle DCE=$ $\angle A$

图:四边形 ABCD 内接于 ⊙O,点 E 在 BC 的延长线上,∠DCE 为外角。

第26课时与圆有关的位置关系6年6考 · 2~8分

考点1 点与圆的位置关系

位置关系	d 与 r 的关系	说明
点在圆外	$d$ $>$ $r$	设圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d。
点在圆上	$d$ $=$ $r$
点在圆内	$d$ $<$ $r$

考点2 直线与圆的位置关系

位置关系	d 与 r 的关系	公共点个数
相交	$d$ $<$ $r$	2 个
相切	$d$ $=$ $r$	1 个
相离	$d$ $>$ $r$	0 个

考点3 切线的性质与判定

性质定理	切线垂直于过切点的半径(或直径)
判定方法	1. 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线; 2. 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线; 3. 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义)

【满分技法】判定切线常用的方法有:
1. "连半径,证垂直":如果已知直线经过圆上一点,则连接这一点和圆心得到半径,再证所作半径与这条直线垂直;
2. "作垂直,证相等":如果已知条件中不确定直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长等于半径。

考点4 三角形的内切圆

内心	三角形的内切圆圆心或三角形三条角平分线的交点叫做内心
性质	三角形的内心到三角形的三条边的距离相等
角度关系	$\angle BOC=90^{\circ}+\dfrac{1}{2}\angle A$ (O 为内心)

图:△ABC 的内切圆 ⊙O,O 为三条角平分线的交点。

考点5 切线长和切线长定理

切线长	经过圆外一点作圆的切线,这点与切点之间的线段长,叫做这点到圆的切线长
切线长定理	从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。如图,PA、PB 分别切 ⊙O 于 A、B 两点,则 PA $=$ PB, $\angle APO=\angle BPO=\dfrac{1}{2}\angle APB$

图:圆外一点 P,PA、PB 切 ⊙O 于 A、B,OA、OB 为半径,OP 平分 ∠APB。

第27课时弧长、扇形面积的相关计算

考点1 弧长和扇形的面积

圆的周长	$C=$ $2\pi r$ 　（ $r$ 为圆的半径）
弧长	$l=$ $\dfrac{n\pi r}{180}$ 　（ $n^\circ$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 所对的圆心角度数）
圆的面积	$S=$ $\pi r^2$
扇形面积	$S_{\text{扇形}}=$ $\dfrac{n\pi r^2}{360}$ $=\dfrac{1}{2}rl$ 　（ $l$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的长）

考点2 圆锥的有关计算

底面周长	$C=$ $\dfrac{n\pi l}{180}$ $=2\pi r$ 　（ $r$ 为圆锥底面圆的半径， $h$ 为圆锥的高， $l$ 为圆锥的母线长， $n^\circ$ 为圆锥侧面展开图（扇形）圆心角的度数）
侧面展开图圆心角	$n^\circ=\left(\dfrac{360r}{l}\right)^\circ$

【满分技法】
1. 圆锥的侧面展开图是扇形；
2. 圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图的弧长；
3. 圆锥的母线长等于其侧面展开后所得扇形的半径；
4. 圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的母线

l

、底面圆的半径

r

和圆锥的高

h

满足

r^2+h^2=l^2

。

考点3 正 $n$ 边形与圆

边心距	$d=\sqrt{R^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}$
周长	$l=na$
面积	$S=\dfrac{1}{2}nad=\dfrac{1}{2}ld$
中心角	$\theta=\dfrac{360^\circ}{n}$

正

n

边形内接于

\odot O

：外接圆半径

R

，中心角

\theta

，边心距

d

，边长

a

。

正

n

边形与圆

【满分技法】正六边形的边长等于其外接圆的半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的

\sqrt{3}

倍，正方形的边长等于其外接圆半径的

\sqrt{2}

倍。

微专题辅助圆6年5考

一阶构造辅助圆

模型一定点定长

模型特点

已知

A

是平面内一定点，

B

是动点，若

AB

的长度为定值，则点

B

在以点

A

为圆心、

AB

长为半径的圆上。（依据圆的定义）

模型二定弦定角

模型特点

\triangle ABC

中，

AB

的长度为定值（定弦），顶点

C

为动点，且

\angle ACB

为定值（定角）。要确定顶点

C

的运动轨迹，需分三种情况：
(1) 当

\angle ACB<90^\circ

时，点

C

的运动轨迹为优弧

\overset{\frown}{ACB}

（不与点

A,B

重合）；
(2) 当

\angle ACB=90^\circ

时，点

C

的运动轨迹为

\odot O

（不与点

A,B

重合）；
(3) 当

\angle ACB>90^\circ

时，点

C

的运动轨迹为劣弧

\overset{\frown}{AB}

（不与点

A,B

重合）。

模型三定角定高

模型特点

在

\triangle ABC

中，

\angle BAC=\alpha

（定角），

AD

是

BC

边上的高，且

AD=h

（定高）。当构成等腰三角形（

AB=AC

）时：
(1)

BC

的长最小；(2)

\triangle ABC

的周长最小；(3)

\triangle ABC

的面积最小。

模型四四点共圆

判定与推广

1. 点

C,D

在

AB

的同侧，且

\angle C=\angle D

，则

A,B,C,D

四点共圆；
2. 点

C,D

在

AB

的异侧，且

\angle C+\angle D=180^\circ

，则

A,B,C,D

四点共圆。
推广：(1) 共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；(2) 四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等。

模型五最大张角

模型结论

两定点

A,B

在

\angle C

的一条边

CN

上，动点

P

在这个角的另一边

CM

上。过

A,B

两点作

\odot O

，使

\odot O

与

CM

相切于点

P'

，连接

P'A,P'B

，当

\triangle ABP

的外接圆与边

CM

相切时（即点

P

与点

P'

重合），

\angle APB

最大。
（简证：点

P

是

CM

上一动点，连接

AP,BP

，

AP

交

\odot O

于点

Q

，连接

BQ

，则

\angle APB\le\angle AQB=\angle AP'B

。）

二阶利用辅助圆求解

类型一点圆最值

已知平面内一定点 $D$ 和 $\odot O$ 上一动点 $E$ ，设点 $O$ 与点 $D$ 之间的距离为 $d$ ， $\odot O$ 的半径为 $r$ 。

位置关系	点 $D$ 在 $\odot O$ 内 / $\odot O$ 上 / $\odot O$ 外
$DE$ 的最大值	$d+r$ / $2r$ / $d+r$
此时点 $E$ 的位置	连接 $DO$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$
$DE$ 的最小值	$r-d$ / $0$ / $d-r$
此时点 $E$ 的位置	$D$ 在圆内：连接 $OD$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$ ； $D$ 在圆上：点 $E$ 与点 $D$ 重合； $D$ 在圆外：连接 $OD$ 交 $\odot O$ 于点 $E$

应用依据：圆中最长的弦是直径。

类型二线圆最值

已知 $\odot O$ 及直线 $l$ ， $\odot O$ 的半径为 $r$ ，点 $Q$ 为 $\odot O$ 上一动点，圆心 $O$ 与直线 $l$ 之间的距离为 $d$ 。

位置关系	直线与 $\odot O$ 相离 / 相切 / 相交
点 $Q$ 到直线 $l$ 距离的最大值	$d+r$ / $2r$ / $d+r$
此时点 $Q$ 的位置	过点 $O$ 作直线 $l$ 的垂线，其反向延长线与 $\odot O$ 的交点，即为点 $Q$
点 $Q$ 到直线 $l$ 距离的最小值	$d-r$ / $0$ / $0$
此时点 $Q$ 的位置	相离：过点 $O$ 作直线 $l$ 的垂线，与 $\odot O$ 的交点即为点 $Q$ ；相切、相交：直线 $l$ 与 $\odot O$ 的交点即为点 $Q$

微专题主从联动

认识模型

1. 模型特点

(1) 主动点

P

、从动点

Q

与定点

A

连线的夹角是定值（

\angle PAQ

是定值）；
(2) 主动点

P

、从动点

Q

到定点

A

的距离之比是定值（

AP:AQ

是定值）。

2. 模型结论 —— 模型一直线轨迹

(1)

P,Q

两点轨迹所在直线的夹角等于

\angle PAQ

或

\angle PAQ

的补角；
(2)

P,Q

两点轨迹长度之比等于

AP:AQ

（由

\triangle ABC\sim\triangle AMN

及

\triangle ABP\sim\triangle AMQ

，可得

AP:AQ=AB:AM=BC:MN

）。

模型二圆轨迹

(1) 主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：

\angle PAQ=\angle OAM=\alpha

；
(2) 主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆半径之比，即

AP:AQ=AO:AM=OP:MQ

。

第七单元图形的变化

第28课时视图与投影6年4考,2分

考点1 投影

平行投影	由平行的光线形成的投影
中心投影	由同一点（点光源）发出的光线形成的投影
正投影	投影线垂直于投影面产生的投影

考点2 三视图

1. 三视图的概念及画法

概念	1. 主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图； 2. 左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图； 3. 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图
画法	1. 位置和大小：主视图与俯视图长对正；主视图与左视图高平齐；左视图与俯视图宽相等； 2. 线段：看得见部分的轮廓线画成实线；因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线

2. 常见几何体的三视图

正方体	主视图：正方形；左视图：正方形；俯视图：正方形
长方体	主视图：矩形；左视图：窄矩形（正方形）；俯视图：矩形
圆柱	主视图：矩形；左视图：矩形；俯视图：圆
圆锥	主视图：等腰三角形；左视图：等腰三角形；俯视图：带圆心的圆
球体	主视图：圆；左视图：圆；俯视图：圆
正三棱柱	主视图：矩形（中间有竖实线）；左视图：矩形；俯视图：倒三角形
正三棱锥	主视图：三角形；左视图：三角形；俯视图：三角形（顶点与中心连线）

考点3 立体图形的展开与折叠

1. 常见几何体的展开图

正方体	六个正方形组成（十字形等）
长方体	六个矩形组成
圆柱	一个矩形 + 两个等圆
圆锥	一个扇形 + 一个圆
正三棱柱	三个矩形 + 两个全等三角形
正三棱锥	四个三角形

2. 正方体展开图的常见类型

一四一型	巧记：中间四个面，上下各一面
二三一型	巧记：中间三个面，一、二隔相见
二二二型	巧记：中间两个面，楼梯天天见
三三型	巧记：中间没有面，三、三连一线

【满分技法】
1. 正方体的展开图中不能出现“田”字形、“凹”字形等结构；
2. 若出现“四个面连成一排”的类型，另两面必须在两侧；
3. 正方体中相对的面在展开图中不相连。

第29课时尺规作图6年4考,2~5分

考点五种基本尺规作图

1. 作一条线段等于已知线段

作法

(1) 作射线

OP

；(2) 以点

O

为圆心，已知线段的长为半径作弧，交

OP

于点

A

，

OA

即为所求作的线段。
蓝弧＝以

O

为圆心、已知线段

a

的长为半径；交射线于

A

，

OA

即为所求线段

2. 作一个角等于已知角

作法

(1) 在

\angle\alpha

上以点

O

为圆心，以适当的长为半径作弧，交

\angle\alpha

的两边于点

P,Q

；
(2) 作射线

O'A

；
(3) 以点

O'

为圆心，

OP

长为半径作弧，交

O'A

于点

M

（可得到

O'M=OP

）；
(4) 以点

M

为圆心，

PQ

长为半径作弧，与前弧相交于点

N

（若连接

PQ,MN

，可得到

MN=PQ

）；
(5) 过点

N

作射线

O'B

，

\angle AO'B

即为所求作的角。
左：源角

\angle\alpha

（弧交两边于

P,Q

）；右：先以

O'

为圆心、

OP

长为半径画弧得

M

，再以

M

为圆心、

PQ

长为半径画弧得

N

，连接

O'N

即得所求角

3. 作已知角的平分线

作法

(1) 以点

O

为圆心，适当长为半径作弧，分别交

OA,OB

于点

N,M

；
(2) 分别以点

M,N

为圆心，以大于

\dfrac{1}{2}MN

长为半径分别作弧，两弧相交于点

P

；
(3) 过点

O

作射线

OP

，

OP

即为

\angle AOB

的平分线。
先以

O

为圆心画弧交两边于

M,N

；再分别以

M,N

为圆心、以大于

\dfrac{1}{2}MN

的相同半径画弧交于

P

（灰虚线表示两段相等）

4. 作线段的垂直平分线

作法

(1) 分别以点

A,B

为圆心，大于

\dfrac{1}{2}AB

长为半径，在

AB

两侧作弧，两弧交于

M,N

两点；
(2) 连接两弧交点

M,N

所成直线

l

即为所求作的垂直平分线。
分别以

A,B

为圆心、以大于

\dfrac{1}{2}AB

的相同半径在两侧画弧，两对弧交于

M,N

，直线

MN

即为垂直平分线

5. 过一点作已知直线的垂线

过直线上一点

P

作垂线

(1) 以点

P

为圆心，任意长为半径向点

P

两侧作弧，交直线

l

于点

A

和点

B

（可得

PA=PB

）；
(2) 分别以点

A,B

为圆心，以大于

\dfrac{1}{2}AB

长为半径在直线两侧作弧，两弧交于

M,N

两点，连接

MA,MB,NA,NB

，可得到

MA=MB=NA=

NB

；
(3) 作直线

PM

，则直线

PM

即为所求作的垂线。
先在直线

l

上截得

PA=PB

，再分别以

A,B

为圆心、相同半径在两侧画弧交于

M,N

；

P,M,N

三点共线

过直线外一点

P

作垂线

(1) 在直线

l

另一侧取点

M

；
(2) 以点

P

为圆心，大于点

P

到直线

l

的距离长为半径作弧，交直线

l

于点

A

和点

B

，连接

PA,PB

（可得

PA=PB

）；
(3) 分别以点

A,B

为圆心，以大于

\dfrac{1}{2}AB

长为半径作弧，交直线

l

下方于点

N

，连接

AN,BN

（可得

AN=BN

）；
(4) 作直线

PN

，则直线

PN

即为所求作的垂线。
先以

P

为圆心画弧交

l

于

A,B

（

PA=PB

），再分别以

A,B

为圆心、相同半径画弧交于

N

；直线

PN

即为所求垂线

第30课时图形的对称、平移与旋转6年9考 · 2~9分

考点1 图形的对称

1. 轴对称图形和中心对称图形

轴对称图形	1. 有对称轴——直线； 2. 图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形完全重合
中心对称图形	1. 有对称中心——点； 2. 图形绕对称中心旋转 180°，旋转前后的图形完全重合
常见图形判断	常见图形：a. 等腰三角形，b. 等边三角形，c. 平行四边形，d. 菱形，e. 矩形，f. 正方形，g. 正五边形，h. 正六边形，i. 圆。 (1) 是轴对称图形的有：a、b、d、e、f、g、h、i； (2) 是中心对称图形的有：c、d、e、f、h、i； (3) 既是轴对称图形又是中心对称图形的有：d、e、f、h、i

2. 轴对称和中心对称

轴对称的性质	1. 成轴对称的两个图形是全等图形； 2. 对称点所连线段被对称轴垂直平分
中心对称的性质	1. 成中心对称的两个图形是全等图形； 2. 对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分
作图方法	1. 找出原图形的关键点，作出它们关于对称轴（或对称中心）的对称点； 2. 根据原图形依次连接各对称点即可

3. 轴对称的常见应用

图形的折叠	(1) 位于折痕两侧的图形关于折痕对称； (2) 折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积等均相等； (3) 折叠前后，对应点的连线被折痕所在直线垂直平分
最短路径	如图，A、B 是直线 l 同侧的两个定点，点 P 是直线 l 上的一点，作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 AB′ 交直线 l 于点 P，连接 BP，此时 AP+BP 的值最小

图：直线 l 同侧两定点 A、B，作 B 关于 l 的对称点 B′，AB′ 与 l 交于点 P，连接 BP，使 AP+BP 最小

将军饮马（最短路径）模型示意

考点2 图形的平移

要素	平移方向和平移距离
性质	1. 平移前后，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等； 2. 各组对应点所连接的线段平行（或在同一条直线上）且相等； 3. 平移前后的图形全等
作图步骤	1. 根据题意，确定平移方向和平移距离； 2. 找出原图形的关键点； 3. 按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点； 4. 按原图形，依次连接各关键点的对应点，得到平移后的图形
常用结论	图形平移通常会出现平行线、平行四边形

考点3 图形的旋转

要素	旋转中心、旋转方向和旋转角
性质	1. 对应点到旋转中心的距离相等； 2. 任何一组对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角； 3. 旋转前、后的图形全等
作图步骤	1. 确定旋转中心； 2. 确定图形中的关键点； 3. 连接关键点和旋转中心，将连接而成的线段绕着旋转中心沿指定的方向旋转指定的角度，得到各关键点的对应点； 4. 按原图形依次连接各关键点的对应点，得到原图形旋转后的图形
常用结论	图形旋转通常会出现等腰三角形，对应点连线的垂直平分线必过旋转中心

第八单元统计与概率

第31课时统计每年2~3道 · 5~9分

考点1 数据的收集

1. 调查方式

全面调查	1. 定义：考察全体对象的调查，也称普查； 2. 适用情况：一般当调查范围小、调查不具有破坏性、意义重大、数据要求准确全面时，采用全面调查
抽样调查	1. 定义：抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况； 2. 适用情况：一般当所调查的对象涉及面大、范围广、受条件限制或具有破坏性时，采用抽样调查

2. 总体、个体、样本及样本容量

总体	所要考察对象的全体
个体	组成总体的每一个对象
样本	从总体中抽取的一部分个体
样本容量	一个样本中包含的个体的数目
示例	某中学为了解全校 2 000 名学生阅读的名著数量，从中随机抽取了 300 名学生进行问卷调查。则：总体：全校 2 000 名学生阅读的名著数量；个体：每名学生阅读的名著数量；样本：抽取的 300 名学生阅读的名著数量；样本容量：300

【满分技法】
1. 总体、个体、样本三者的考察对象不是笼统的某人某物，而是某人某物的某项指标；
2. 样本容量是样本中个体的数量，没有单位。

考点2 数据的整理

扇形统计图	特点：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。所含信息：1. 各百分比之和等于1；2. 圆心角的度数 = 百分比 × $360^\circ$
条形统计图	特点：能清楚地表示出每个项目的具体数目。所含信息：各组数量之和等于抽样数据总数（样本容量）
折线统计图	特点：能清楚地反映数据的变化情况。所含信息：各组数量之和等于抽样数据总数（样本容量）
频数分布直方图	特点：能清楚地表示出收集或调查到的数据，能显示出各组数据分布的情况以及各组频数之间的差别。所含信息：各组频数之和等于抽样数据总数（样本容量）
频数分布表	特点：能清楚地表示出各部分在总体中所占的比例，能清楚地表示出每个项目的具体数目。所含信息：1. 各组频率之和等于1；2. 数据总数 × 某组的频率 = 相应组的频数

考点3 数据的分析

1. 平均数

定义	1. 算术平均数：对于 n 个数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ ， $\bar{x}=$ $\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ ； 2. 加权平均数： $\bar{x}=\dfrac{1}{n}\big(x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_kf_k\big)$ ，其中 $f_1,f_2,\cdots,f_k$ 分别表示 $x_1,x_2,\cdots,x_k$ 出现的次数， $n=f_1+f_2+\cdots+f_k$
特点	唯一能反映一组数据的平均水平，与数据的排列位置无关，容易受极大值或极小值的影响
应用	根据两组数据的平均值，评价哪组数据整体水平较好

2. 中位数

定义	将一组数据按大小排列，处于最中间位置的数（数据有奇数个）或最中间两个数据的平均数（数据有偶数个）为这组数据的中位数
特点	反映一组数据的中等水平，不受极端数据影响
应用	判断某一数据在本组数据中所处的位置，比中位数大即位于前（后）50%，比中位数小即位于后（前）50%

3. 众数

定义	众数：一组数据中出现次数最多的数据（众数可能不唯一，也可能不存在，众数一定是原数据）
特点	表示一组数据中出现次数最多的数据，反映一组数据的集中程度
应用	日常生活中“最佳”“最受欢迎”“最满意”“最受关注”等，都与众数有关

4. 方差

定义	方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数，即 $s^2=\dfrac{1}{n}\big[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2\big]$ ，其中 $\bar{x}$ 为 $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ 的平均数， $s^2$ 为数据的方差
意义	方差越大，数据的波动越大，稳定性越差；方差越小，数据的波动越小，稳定性越好
应用	在平均成绩相同的情况下，比较两人成绩的稳定性

【满分技法】被调查的每个数据都增加或减小同一个数值，该组数据的方差不变。

5. 频数与频率

频数	一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数
频率	在 n 次重复实验中，不确定事件 A 发生了 m 次，则比值 $\dfrac{m}{n}$ 称为事件 A 发生的频率

【满分技法】
1. 所有频数的和等于数据总数；
2. 所有对象的频率之和等于1；
3. 频率

=\dfrac{\underline{\ \text{⑯}\ }}{\text{数据总数}}

；
4. 频数与频率都能反映各个对象出现的频繁程度。频数越大，频率越高，事件发生的可能性也越大。

6. 样本估计总体

基本思想	利用样本的特征（平均数、方差等）估计总体的特征（平均数、方差等）

【满分技法】
1. 用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越准确；
2. 要全面、多角度地去分析已有数据，注意根据各个特征量的意义，选择合适的特征量。

第32课时概率每年1道 · 2分

考点1 事件的分类

必然事件	在一定条件下，必然会发生的事件。其概率为 1
不可能事件	在一定条件下，必然不会发生的事件。其概率为 0
随机事件	在一定条件下，有可能发生，也有可能不发生的事件。其概率在 0~1 之间

考点2 概率的计算

公式法	一步概率：直接公式法 $P(A)=$ $\dfrac{m}{n}$ ，其中 n 为所有事件的总数，m 为事件 A 发生的总次数
列表法	当一次试验涉及两个因素，且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法列出所有等可能的结果，再根据 $P(A)=\dfrac{m}{n}$ 计算概率
画树状图法	当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图法表示出所有等可能的结果，再根据 $P(A)=\dfrac{m}{n}$ 计算概率
几何概型	计算公式为： $P(A)=\dfrac{\text{构成事件 }A\text{ 的区域长度（面积）}}{\text{全部结果所构成的区域长度（面积）}}$
频率估计概率	1. 统计图：一般为折线统计图，观察统计图中频率逐渐趋于某一个数值，显示出一定的稳定性，则可以用该频率大致表示事件发生的概率； 2. 统计表：(1) 若表格中频率的数据逐渐趋于某一个数值，显示出一定的稳定性，则可以用该频率大致表示事件发生的概率；(2) 若表格中频率的数据未趋于稳定，则选用频率的平均数来估计事件发生的概率

专题压轴题解题规律

专题十代数综合题6年6考

类型一二次函数对称性、增减性问题

典例解题思路（数形结合法 / 代数法）

二次函数对称性、增减性综合 · 两种解法

方法一　数形结合法：
① 先由二次项系数

a

的符号确定抛物线开口方向；若题中

a

的正负不确定，则须按开口向上、向下两种情况分类讨论。
② 比较函数值大小时，先确定各点与对称轴的位置关系，必要时作已知点关于对称轴的对称点，把各点化到对称轴同侧；再利用"开口向上时，点离对称轴越远函数值越大；开口向下时相反"比较大小。
③ 当对称轴位置（或自变量取值范围）不定时，须按两点与对称轴的相对位置（同侧 / 异侧 / 点在轴上）分类讨论，结合增减性得到不等关系，再与自变量范围取交集。

方法二　代数法：
① 直接把两点纵坐标用横坐标代入解析式表示出来，并作差

m-n

，将其因式分解为若干含自变量的因式之积。
② 由差的符号判断大小：

m>n \iff m-n>0

；再依据"两因式同号相乘得正、异号相乘得负"列出不等式（组）。
③ 若题意是"对某一自变量范围内的所有点都有

m>n

"，则该自变量范围必须整体落在不等式（组）的解集之内，据此求参数的取值范围。

类型二二次函数公共点问题

专题十一几何综合题6年6考

类型一旋转问题

辅助线模型规律（由典例"识图解图"提炼）

模型总结 · 旋转综合题常用辅助线

旋转构造全等	当一条线段绕某定点旋转定角得到新线段时，可将与之相关联的线段绕同一旋转中心、沿同一方向旋转相同角度，与已知直线相交得到辅助点，从而构造全等三角形，把分散的线段集中、转化到同一位置
斜边中点构造二倍角	在直角三角形中出现"二倍角"关系时，可取斜边的中点，利用"直角三角形斜边中线等于斜边的一半"得到等腰三角形，以此沟通二倍角与线段相等关系
解题思路	当所求两线段的数量关系不易直接发现时，通过上述"旋转构造全等""取斜边中点"等辅助线把线段转化集中到同一三角形中，再借助全等、等腰、等量代换建立数量关系

类型二动点问题

辅助线模型规律（由典例"思维教练"提炼）

模型总结 · 动点（中点＋垂直）综合常用辅助线

倍长中线构造全等	当条件中出现"某点是线段中点"时，常倍长过中点的线段（延长使延长部分等于原线段），连接另一端点构造全等三角形，把分散的线段转化到一起
垂直平分线转化线段	若倍长后的线段又与一条过中点的垂线相结合，则该垂线就是这条被倍长线段的垂直平分线，可由垂直平分线的性质把一条线段等量转化到另一条线段上
解题思路	把相关线段都转化集中到同一个三角形后，若能证明该三角形中含有直角，再结合勾股定理与等量代换，即可确定几条线段之间的数量关系

情境分析题常用方法

【情境分析题·常用方法】最优方案类问题常用：排除法、枚举法、图表法。

平移前的解析式	平移 $m$ 个单位长度（ $m>0$ ）　\|　平移后的解析式　\|　简记
$y=kx+b$ $(k\ne0)$	向左平移 $m$ 个单位长度： $y=k(x+m)+b$ 　\|　左“ $+$ ”
	向右平移 $m$ 个单位长度： $y=k(x-m)+b$ 　\|　右“ $-$ ”
	向上平移 $m$ 个单位长度： $y=kx+b+m$ 　\|　上“ $+$ ”
	向下平移 $m$ 个单位长度： $y=kx+b-m$ 　\|　下“ $-$ ”

初中数学知识要点

第一单元 数与式

第1课时 实数(含二次根式)每年2~5道 · 7~13分

考点1 实数的分类及正负数的意义

考点2 数轴、相反数、绝对值、倒数

1. 数轴

2. 相反数

3. 绝对值

4. 倒数

考点3 科学记数法

考点4 近似数

考点5 实数的大小比较

考点6 算术平方根、平方根、立方根

考点7 实数的运算

1. 基本运算法则

2. 运算律

3. 常见实数运算

4. 运算顺序

考点8 二次根式的相关概念与性质

考点9 二次根式的运算及估值

考点10 非负数

第2课时 整式与因式分解每年1~2道 · 2~7分

考点1 代数式及其求值

考点2 整式的相关概念

考点3 整式的运算

1. 加减运算(实质:合并同类项)

2. 幂的运算(a≠0,b≠0,m,n 为正整数)

3. 乘法运算

4. 除法运算

考点4 因式分解

第3课时 分式6年5考 · 1~2道 · 2~7分

考点1 分式的相关概念及性质

考点2 分式的运算

1. 乘除运算

2. 加减运算

3. 分式化简求值的一般步骤

第二单元 方程(组)与不等式(组)

第4课时 一元一次方程与一元一次不等式(组)每年1~2道 · 5~7分

考点1 等式与不等式的基本性质

考点2 一元一次方程与一元一次不等式的概念及解法

考点3 一元一次不等式组的解法及解集表示

第6课时 方程(组)与不等式的实际应用6年5考 · 2~6分

考点1 分式方程的实际应用

考点2 一元二次方程的实际应用

面积问题

循环赛问题

考点3 列方程(组)/不等式解应用题的步骤

1. 列方程(组)/不等式解应用题的一般步骤

2. 常见关键词

第三单元 函数

第7课时 平面直角坐标系6年2考 · 2~7分

考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征

考点2 平面直角坐标系中的距离

考点3 根据条件建立合适的坐标系并简单应用

第8课时 函数及其图象2022.8 · 2分

考点1 函数的有关概念

考点2 函数自变量的取值范围

第10课时 一次函数的图象与性质每年1道 · 5分

考点1 正比例函数的图象与性质

考点2 一次函数的图象与性质

考点3 一次函数解析式的确定

考点4 一次函数图象的平移

考点5 一次函数图象与坐标轴的交点及与方程(组)、不等式的关系

核心考点突破 · 一次函数的图象与性质6年6考，在解答题中涉及考查

第12课时 反比例函数的图象与性质每年1道 · 2分

考点1 反比例函数的图象与性质

考点2 反比例函数系数 k 的几何意义

考点3 反比例函数解析式的确定

第13课时 二次函数的图象与性质每年1道 · 6分

考点1 二次函数的图象与性质

考点2 二次函数图象与系数 a,b,c 的关系

考点3 二次函数解析式的确定(待定系数法)

考点4 二次函数图象的平移

考点5 二次函数与坐标轴的交点及与方程的关系

一、二次函数的图象与性质 6年6考 · 在二次函数综合题中涉及考查

第四单元 三角形

第17课时 几何初步、相交线与平行线每年2~4道 · 7~14分

考点1 直线和线段

考点2 角及角平分线

1. 角的度量及换算

第一单元数与式

第1课时实数(含二次根式)每年2~5道 · 7~13分

第2课时整式与因式分解每年1~2道 · 2~7分

2. 幂的运算( $a\ne0,b\ne0,m,n$ 为正整数)

第3课时分式6年5考 · 1~2道 · 2~7分

第二单元方程(组)与不等式(组)

第4课时一元一次方程与一元一次不等式(组)每年1~2道 · 5~7分

第6课时方程(组)与不等式的实际应用6年5考 · 2~6分

第三单元函数

第7课时平面直角坐标系6年2考 · 2~7分

第8课时函数及其图象2022.8 · 2分

第10课时一次函数的图象与性质每年1道 · 5分

第12课时反比例函数的图象与性质每年1道 · 2分

考点2 反比例函数系数 $k$ 的几何意义

第13课时二次函数的图象与性质每年1道 · 6分

考点2 二次函数图象与系数 $a,b,c$ 的关系

第四单元三角形

第17课时几何初步、相交线与平行线每年2~4道 · 7~14分

第18课时三角形与多边形的性质每年2~4道 · 4~18分

第19课时全等三角形每年1~4道 · 7~14分

核心考点突破 · 模型一平移型

第五单元四边形

第23课时平行四边形每年2~3道 · 5~9分

第24课时矩形、菱形、正方形每年1~2道 · 2~7分

第六单元圆

第25课时圆的基本概念及性质6年9考 · 4~8分

第26课时与圆有关的位置关系6年6考 · 2~8分

第27课时弧长、扇形面积的相关计算

考点3 正 $n$ 边形与圆

微专题辅助圆6年5考

一阶构造辅助圆

模型一定点定长

模型二定弦定角

模型三定角定高

模型四四点共圆

模型五最大张角

二阶利用辅助圆求解

类型一点圆最值

类型二线圆最值

微专题主从联动

第七单元图形的变化

第28课时视图与投影6年4考,2分

第29课时尺规作图6年4考,2~5分

考点五种基本尺规作图